rownanie trygonometryczne

[miguel_]

rozwiaz rownanie:

\(\displaystyle{ sin2x= \frac{8 \sqrt{3}sin2x-9 }{4sin2x}}\) gdzie \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{\pi}{2})}\)

[RyHoO16]

Na początek dziedzina \(\displaystyle{ \sin 2x \neq 0}\)
Teraz odważnie mnożymy przez \(\displaystyle{ 4 \sin 2x}\)

Dostajemy równanie kwadratowe

\(\displaystyle{ 4\sin^2 2x - 8\sqrt{3} \sin 2x +9=0}\)

\(\displaystyle{ (2\sin 2x - \sqrt{3})(2 \sin 2x - 3\sqrt{3})=0}\)

[bzyk12]

robimy podstawienie;
\(\displaystyle{ t=sin2x \wedge t \in (0,1)}\)

\(\displaystyle{ 4t ^{2} -8 \sqrt{3}t+9=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=48}\), \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} =4 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ t _{1} = \frac{3 \sqrt{3} }{2}}\)-to rozwiązanie odpada

\(\displaystyle{ t _{2}= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ sin2x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin2x=sin \frac{\pi}{3} \vee sin2x=sin \frac{2 \pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{6} \vee x= \frac{\pi}{3}}\)