Zbiór wartości funkcji

[szablewskil]

Znaleźć zbior wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=cos ^{2}x(1+sin2x)}\)

[BettyBoo]

Funkcja f jest okresowa o okresie 2pi, wystarczy więc rozpatrzeć obraz na przedziale [0,2pi]. Jako funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość największą i najmniejszą i są one w punktach ekstremów lokalnych lub na brzegach przedziału. Ponadto przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy tymi wartościami. Sprawdzamy, że f(0)=f(2pi)=1.
Aby łatwo znaleźć ekstrema lokalne, najpierw zapisujemy f w prostszej postaci:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}(1+cos 2x)(1+sin 2x)=\frac{1}{2}(1+cos 2x+sin 2x+sin2x\,cos2x)}\)

Wtedy: \(\displaystyle{ f'(x)=0\ \Rightarrow\ -sin 2x+cos 2x-sin^22x+cos^22x=}\)
\(\displaystyle{ =(cos2x-sin2x)+(cos2x-sin2x)
(cos2x+sin2x)=}\)
\(\displaystyle{ =(cos2x-sin2x)(1+sin2x+cos2x)=0}\)
Mamy więc \(\displaystyle{ cos2x=sin2x\ \Leftrightarrow\ 2x=\frac{\pi}{4}\ \vee \ 2x=\frac{5\pi}{4}}\)
oraz \(\displaystyle{ 1+sin2x+cos2x=0\ \Rightarrow\ sin2x+cos2x=-1/()^2\ \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ sin^22x+cos^22x+2sin2xcos2x=1\ \Rightarrow\ sin2x=0\ \vee\ cos2x=0}\)

Należy jednak pamiętać, że podnosiliśmy do kwadratu, więc mamy z pierwotnego warunku, że
\(\displaystyle{ sin2x=0\ \Rightarrow \ cos2x=-1\ \Rightarrow \ 2x=\pi}\)
\(\displaystyle{ cos2x=0\ \Rightarrow \ sin2x=-1\ \Rightarrow 2x=\frac{3\pi}{2}}\)
Oczywiście funkcja f' zmienia znak przy przejściu przez każdy z tych punktów (co wynika z zapisu tej funkcji), więc w każdym ma ekstremum.
Obliczamy \(\displaystyle{ f\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{3}{4}+\sqrt{2},\quad f\left(\frac{5\pi}{8}\right)=\frac{3}{4}-\sqrt{2}}\), w pozostałych dwóch punktach wartość jest 0 (zeruje się jeden z członów iloczynu).
Po porównaniu wszystkich wartości dostajemy odpowiedź: \(\displaystyle{ f(\mathbb{R})=\left[0, \frac{3}{4}+\sqrt{2}\right]}\)

Pozdrawiam.

[klaustrofob]

BettyBoo, coś jest nie tak:
\(\displaystyle{ \cos ^{2}x(1+\sin 2x)=\cos^2 x(\sin^2 x+2\sin x\cos x + \cos^2x)=}\)
\(\displaystyle{ \cos^2 x(\sin x + \cos x)^2=\cos^2 x(\sin x + \sin (\frac{\pi}{2}-x))^2=}\)
\(\displaystyle{ \cos^2 x (\sqrt{2}\cos (x-\frac{\pi}{4}))^2 = 2\cos^2 x \cos^2 (x-\frac{\pi}{4})}\) - czyli największa wartość nie przekracza 2.

teraz wystarczy znaleźć ekstrema funkcji \(\displaystyle{ \phi(x)=\cos x \cos (x-\frac{\pi}{4})}\)

BettyBoo: \(\displaystyle{ \sin^2 2x+\cos^2 2x+2\sin 2x\cos 2x=1 \Leftrightarrow (\sin 2x+\cos 2x)^2=1}\) co ma też inne rozwiązania.

[BettyBoo]

BettyBoo, coś jest nie tak:

no jest nie tak, jest..późna pora jest nie tak ma być
\(\displaystyle{ f \left( \frac{ \pi}{8} \right)= \frac{3}{4}+ \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad f \left( \frac{5 \pi}{8} \right)= \frac{3}{4}- \frac{\sqrt{2}}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ f( \mathbb{R})= \left[0, \frac{3}{4}+ \frac{\sqrt{2}}{2} \right]}\)

Pozdrawiam.

[Marmon]

teraz wystarczy znaleźć ekstrema funkcji \(\displaystyle{ \phi(x)=\cos x \cos (x-\frac{\pi}{4})}\)

A jak je znaleźć, po prostu podstawiać x tam gdzie \(\displaystyle{ cosx=1}\) i gdzie \(\displaystyle{ cosx=-1}\) i zobaczyć co wychodzi ?

Czy ta funkcja nie ma zbioru wartości po prostu \(\displaystyle{ <0;2>}\)?

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ \sin^2 2x+\cos^2 2x+2\sin 2x\cos 2x=1 \Leftrightarrow (\sin 2x+\cos 2x)^2=1}\) co ma też inne rozwiązania.

ma, ale ja nie używam równoważności, tylko wynikania (bo podnosiłam do kwadratu) i korzystam z jedynki trygonometrycznej
\(\displaystyle{ \sin^2 2x+\cos^2 2x+2\sin 2x\cos 2x=1 \Rightarrow 2\sin 2x\cos 2x=0}\)

A jak je znaleźć, po prostu podstawiać x tam gdzie cosx=1 i gdzie cosx=-1 i zobaczyć co wychodzi ?
Czy ta funkcja nie ma zbioru wartości po prostu <0;2>?

Liczysz pochodną, która po uproszczeniu ma postać \(\displaystyle{ \phi'(x)=-\sin(2x-\frac{\pi}{4})}\)
Ekstrema funkcji są w miejscach zerowych pochodnej. Wartości trzeba podnieść do kwadratu.
Musisz jednak pamiętać, że w ten sposób otrzymujesz tylko maksima wyjściowej funkcji. Aby otrzymać wartość minimalną wyjściowej funkcji wystarczy zauważyć, że jej wartości są nieujemne oraz że przyjmuje ona wartość 0, np dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)

Pozdrawiam.

[Marmon]

Aha to dobrze że pochodne bo takiego przykładu nie będzie na maturze bo nie ma tam podchodnych^^, zacząłem ten przykład robić w nocy przed snem i cały czas o nim myślałem a doszedłem do tego co klaustrofob i nie wiedziałem co dalej ;C
Dzięki BettyBoo

[frej]

rozwiązanie

Kurcze, nie pomyślałbym o użyciu pochodnych tutaj...