nierówność trygonometryczna

[michal_ziom2]

\(\displaystyle{ cos2x+cosx>0}\)

[Ateos]

suma cosinusow
\(\displaystyle{ \Rightarrow cos \frac{3}{2}x \cdot cos \frac{x}{2}<0}\)
kiedy \(\displaystyle{ ab<0 \Leftrightarrow (a<0, b>0) \vee (a>0 \wedge b<0)}\)

[matshadow]

\(\displaystyle{ \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)=2\cos^2(x)-1\\2\cos^2(x)+\cos(x)-1=0\\\Delta=1+8=9}\)
Ze wzorów Viete'a:
\(\displaystyle{ \begin{cases}cos(x)_1+cos(x)_2=-\frac{1}{2}\\cos(x)_1cos(x)_2=-\frac{1}{2}\end{cases} \Rightarrow cos(x)=-1\vee cos(x)=\frac{1}{2}}\)
Nierówność będzie spełniona, gdy \(\displaystyle{ \cos(x)<-1}\) lub \(\displaystyle{ \cos(x)>\frac{1}{2}}\), czyli gdy \(\displaystyle{ \cos(x)>\frac{1}{2} \Leftrightarrow x\in (-\frac{\Pi}{3}+2k\Pi,\frac{\Pi}{3}+2k\Pi)}\)