Kilka ciekawych zadań z trygonometrii

[kp]

1. Udowodnij że funkcji \(\displaystyle{ f(x)=sin \sqrt{x}}\) nie jest okresowa.
2.Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ x ^{2}+4xcos(xy)+4 \ge 0}\)
3.Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej z przedziału <0,90) zachodzą nierówności: a)\(\displaystyle{ sinx \le x \le tgx}\) b) \(\displaystyle{ tgx+sinx \ge 2x}\)
4. Rozwiąż nierówność\(\displaystyle{ 2x ^{4}\le sin ^{4}x+cos ^{6}x-1}\)

[Rogal]

W pierwszym załóż, że jest okresowa, skorzystaj z definicji okresowości i dostaniesz sprzeczność.
W drugim zastanów się, jakie wartości może przyjmować cosinus (z jakiego przedziału).
W trzecim - w a) dowód prowadzi się jakiś geometryczny, sorry nie chce już do tego wracać, może ktoś inny się wypowie. Jak masz a) to w b) wystarczy zbadać przebieg funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \tan x + \sin x - 2x}\) na tym przedziale.
W czwartym na pewno warto zbadać, kiedy prawa strona jest ujemna, ale to raczej nie wyczerpie zadania.