Własność funkcji arcsin

[tomalla]

Przeglądałem sobie rozdział o całkach funkcji niewymiernych w książce "Analiza matematyczna w zadaniach" Krysickiego i Włodarskiego. Był tam między innymi taki przykład:

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}\)

Po kilku przekształceniach otrzymuje się:

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{a}{|a|}arcsin\frac{x}{a}+C= sgn\, a\,arcsin\frac{x}{a}+C}\)

... gdzie \(\displaystyle{ sgn\,a}\) jest to funkcja signum. Nie rozumiem jednak następnego przekształcenia, a mianowicie tego ( tutaj jest fragment książki opisujący ten moment):

Zauważamy, że jeżeli \(\displaystyle{ a>0}\), otrzymujemy w wyniku \(\displaystyle{ arcsin\frac{x}{a}}\); jeżeli zaś \(\displaystyle{ a<0}\), to \(\displaystyle{ -a>0}\) i wobec nieparzystości funkcji \(\displaystyle{ arcsin x}\) możemy napisać:

\(\displaystyle{ sgn\,a\,arcsin\frac{x}{a}=-arcsin\frax{x}{a}=arcsin\frac{x}{-a}=arcsin\frac{x}{|a|}}\)

Niezależnie więc od znaku "a" otrzymujemy wynik

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin\frac{x}{|a|}+C}\)

Nie rozumiem w ogóle, w jaki sposób to zostało zrobione ... i na czym polegała ta nieparzystość funkcji arcsin x ? Ktoś mnie rozjaśni?

Pozdrawiam, Tomalla

[lorakesz]

\(\displaystyle{ I=sgn(a) \arcsin\frac{x}{a}}\)
Mamy rozbicie na dwa przypadki:

1.
\(\displaystyle{ a>0\\
sgn(a) =1}\)
Więc całka ma postać:
\(\displaystyle{ I=\arcsin\frac{x}{a}}\)

2.
\(\displaystyle{ a<0\\
sgn(a)=-1}\)
Więc:
\(\displaystyle{ I=-\arcsin\frac{x}{a}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \arcsin}\) jest funkcją nieparzystą to jak każda funkcja nieparzysta(\(\displaystyle{ -f(x)=f(-x)}\)) zachowuje się tak, że:
\(\displaystyle{ I=-\arcsin\frac{x}{a}=\arcsin\frac{-x}{a}=\arcsin\frac{x}{-a}}\)
Zauważ teraz, że w obu przypadkach \(\displaystyle{ a}\) w argumencie funkcji jest dodatnie lub "staje się" dodatnie poprzez minus przed nim.
Z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ I=\arcsin\frac{x}{|a|}}\)
Nie wiem czy się rozjaśniło, ale w praktyce to chyba i tak jak ktoś to naprawdę umie to nie stosuje tych wzorów .

PS. Dobry wybór książki .

[tomalla]

Rozjaśniło się, i to dużo. Naprawdę dzięki!

PS. Książka naprawdę dobra, to prawda, chociaż ... czasami są tam literówki ...