związki między miarami kątów, trójkąt równoramienny

[południowalolka]

Wykaż, że jeżeli między miarami a,b,c kątów trójkąta zachodzi związek \(\displaystyle{ cos a= \frac{1-cos c}{2cos b}}\) to trójkąt jest równoramienny.

[klaustrofob]

\(\displaystyle{ 2\cos\alpha\cos\beta=1-\cos\gamma=1-\cos(\pi-(\alpha+\beta))=1+\cos(\alpha+\beta)}\)

\(\displaystyle{ 2\cos\alpha\cos\beta=1+\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\)

\(\displaystyle{ \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=1}\)

\(\displaystyle{ \cos(\alpha-\beta)=1}\)

[diego_maradona]

Można założyć, że \(\displaystyle{ \alpha+ \beta <90}\)? Nie powiedziano, czy jest to trójkąt rozwarto, prosto, czy ostrokątny

[Crizz]

No jak nie jest powiedziane, to nie można niczego zakładać. A do czego potrzebujesz takiego założenia?

[diego_maradona]

\(\displaystyle{ 1-\cos(\pi-(\alpha+\beta))=1+\cos(\alpha+\beta)}\) Sorki, chciałem zacytować tylko to


\(\displaystyle{ \cos(\pi-(\alpha+\beta))=-\cos(\alpha+\beta)}\) tylko dla \(\displaystyle{ \alpha + \beta <90}\)? (wynika to ze wzorów redukcyjnych).

[Crizz]

Nie. Ten wzór jest zawsze prawdziwy, nie tylko dla \(\displaystyle{ \alpha + \beta <90}\).

[diego_maradona]

Ale jeżeli mamy \(\displaystyle{ \alpha + \beta>90}\) to cosinus kątą \(\displaystyle{ \pi -( \alpha + \beta )}\) leży w pierwszej ćwiartce, a więc jest dodatni, a dla \(\displaystyle{ \alpha + \beta<90}\) leży w drugiej więc jest ujemny. Albo ja się mylę

[Crizz]

Hmmm... powiedziałbym, że mylisz się i nie mylisz jednocześnie. Może pozwól, że odrobinę pozmieniam Twoją wypowiedź, żeby powstało poprawne rozumowanie:

Jeżeli mamy \(\displaystyle{ \alpha + \beta \in (90^\circ,180^\circ)}\), to kąt \(\displaystyle{ \pi-(\alpha+\beta)}\) leży w pierwszej ćwiartce, a więc jego cosinus jest dodatni, a dla \(\displaystyle{ \alpha + \beta \in (0^\circ,90^\circ)}\) leży w drugiej ćwiartce, więc jego cosinus jest ujemny.

Tu już wszystko jest OK. No i teraz: i co z tego? Jak \(\displaystyle{ \alpha + \beta \in (90^\circ,180^\circ)}\), to \(\displaystyle{ \cos(\alpha+\beta)}\) jest ujemny, a \(\displaystyle{ \cos(\pi-(\alpha+\beta))}\) jest dodatni. Czy tu jest jakiś problem ze znakami? Mamy równość \(\displaystyle{ \cos(\pi-(\alpha+\beta))=-\cos(\alpha+\beta)}\) i tu obie strony są dodatnie.

Analogicznie, nie ma problemu z drugim przypadkiem, który został wymieniony, a także z dwoma pozostalymi ćwiartkami, których nie wzięliśmy pod uwagę.

[diego_maradona]

Teraz jak spojrzałem na to z innej strony to zadałem sobie sprawę jak głupio i schematycznie podchodziłem do wzorów redukcyjnych Dzięki za wyczerpujące wyjaśnienie