sinus czy cosinus?

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Guard14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 16 mar 2009, o 18:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

sinus czy cosinus?

Post autor: Guard14 »

Mam problem z rozstrzygnięciem w której ćwiartce będzie się znajdował dany kąt. Mianowicie chodzi o to, ile będzie wynosił \(\displaystyle{ sin 120 ^{o}}\) Będzie to \(\displaystyle{ sin 60 ^{o}}\) czy \(\displaystyle{ cos 60 ^{o}}\) ? i dlaczego? A to, czy wartość będzie dodatnia czy ujemna w ogóle nie mam pojęcia.
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

sinus czy cosinus?

Post autor: Sherlock »

Jest taki wierszyk
"w pierwszej wszystkie są dodatnie,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej tangens i cotanges,
a w czwartej cosinus"
\(\displaystyle{ 120^0}\) należy do ćwiartki II (\(\displaystyle{ 90^0,180^0}\))
czyli \(\displaystyle{ sin120^0}\) będzie dodatni

wartość możesz policzyć na różne sposoby np. korzystając ze wzoru na \(\displaystyle{ sin2\alpha}\):
\(\displaystyle{ sin120^0=sin2 \cdot 60^0=2sin60^0cos60^0}\), lub ze wzorów redukcyjnych \(\displaystyle{ sin120^0=sin(90^0+30^0)=cos30^0}\) lub \(\displaystyle{ sin120^0=sin(180^0-60^0)=sin60^0}\)
lorakesz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 669
Rejestracja: 25 mar 2008, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 198 razy

sinus czy cosinus?

Post autor: lorakesz »

Znaki funkcji w ćwiartkach(przypominam, że ćwiartki liczymy zaczynając od tej gdzie y>0 i x>0, liczymy w kolejności odwrotnej do wskazówek zegara):
I wszystki dodatnie
II tylko sinus dodatni
III tg i ctg dodatnie
IV cos dodatni.

Rozkładamy więc sinus na:
\(\displaystyle{ \sin(180^o-60^o)=\sin 60^o}\)
Wartość dodatnia bo sinus w II ćwiartce dodatni.
Można też:
\(\displaystyle{ \sin(90^o+30^o)=\cos 30^o}\)
Jak w nawiasie mamy \(\displaystyle{ 90^o \pm ...}\) lub \(\displaystyle{ 270^o \pm ...}\) to zamieniamy na kofunkcję.
Guard14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 16 mar 2009, o 18:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

sinus czy cosinus?

Post autor: Guard14 »

Aha. Rozumiem. Dla pewności jeszcze tutaj napiszę inne, które obliczyłem już sam i gdybyście mogli sprawdzić, czy są ok, byłbym bardzo wdzięczny:

\(\displaystyle{ sin 120 ^{o} = sin (180 ^{o} -120 ^{o} )=sin 60 ^{o}

sin 240 ^{o} = sin (270 ^{o} -240 ^{o} ) =cos 30 ^{o}



cos 120 ^{o} = cos (180 ^{o} - 120 ^{o} ) = cos 60 ^{o}

cos 240 ^{o} = cos (270 ^{o} - 240 ^{o} ) = sin 30 ^{o}}\)
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

sinus czy cosinus?

Post autor: Rogal »

Niestety, bzdury panie kolego.
Popatrz na pierwsze - przecież 180-120 nie jest równe 120. Raczej 120 = 180 - 60, a ze wzorów redukcyjnych sinusa to 180 opuszczamy i dostajemy, że sin 120 = sin 60.
Poczytaj sobie o tym w książce albo u nas w Kompendium, to Ci się bardziej rozjaśni.
Guard14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 16 mar 2009, o 18:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

sinus czy cosinus?

Post autor: Guard14 »

A! Oj, faktycznie głupi błąd (źle rozumowałem), ale o dziwo wyniki takie same wyszły (sprawdzałem dwoma sposobami)

a) sin120=sin(90+30)=cos30
lub
sin(180-60)=sin60

b) sin240=sin(270-30)=cos30
lub
sin(180+60)=sin60

c) cos120=cos(90+30)=sin30
lub
cos(180-60)=cos60

d) cos240=cos(180+60)=cos60
lub
cos(270-30)=sin30


Teraz dobrze co nie? Bynajmniej mi się tak wydaje.
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

sinus czy cosinus?

Post autor: Rogal »

Wzory redukcyjne stosujesz dobrze, tylko zapominasz, że na przykład sinus w czwartej ćwiartce jest ujemny, podobnie cosinus w drugiej i takie tam - wierszyk się kłania.
No i nie:
Guard14 pisze:Bynajmniej mi się tak wydaje.
tylko "przynajmniej".
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

sinus czy cosinus?

Post autor: miki999 »

A jeżeli jesteś (przyszłym) maturzystą, to jest takie przydatne urządzenie: karta wzorów. Serdecznie polecam.


Pozdrawiam.
Guard14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 16 mar 2009, o 18:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

sinus czy cosinus?

Post autor: Guard14 »

A jak jest załóżmy:

sin240=sin(270-30)=cos30

to aby zmienić na ujemny znak, patrzymy na sin240 w której znajduje się ćwiartce czy już na wynik? Od czego zależy zmiana znaku? Wyniku, czy sinusa 240?
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

sinus czy cosinus?

Post autor: Rogal »

No chyba logiczne, że od początkowej funkcji, bo skąd weźmiesz wynik, gdy nie będziesz znał ćwiartki?
ODPOWIEDZ