przekształciłem nierówność

[piotrek9299]

wiadomo, że
\(\displaystyle{ cos \pi x = \frac{1}{3}}\)
wynika stąd, że:
a/ x jest liczbą całkowitą
b/ x jest liczbą niewymierną
c/ x jest liczbą wymierną
d/ \(\displaystyle{ \left|tg \pi x \right|=2 \sqrt{2}}\)

f(x)= cos( sin x) - sin (cos x), wówczac
dla każdego x rzeczywistego mamy f(x)>0
dla każdego x rzeczywistego zachodzi f(x)<0
istnieje takie x rzeczywiste, że f(x)=2
istnieje taki x rzeczywisty, że f(x) =1-sin(1)
tutaj zrobiłem wykres w adv. grapher i wyszło mi, że odpoweidź 1 i 4 jest dobra

Podaj zbior rozwiazań:
\(\displaystyle{ 4 cos^3 \frac{x}{2}sin \frac{x}{2} \ge 1}\)
\(\displaystyle{ x in left[ frac{pi}{4}; pi
ight)}\)

z góry dzięki!

-- 1 kwietnia 2009, 16:42 --

w nierówności po przekształceniach optrzymałem
\(\displaystyle{ sinx+sinx *cosx \ge 1}\)
nie wiem jak wyznaczyć zb. rozw.

[BettyBoo]

zad 1
a) jest niemożliwe, bo dla całkowitych wielokrotności wartość kosinusa to -1 lub 1
d) jest prawdziwe - wystarczy obliczyć sinus z jedynki trygonometrycznej

zad 2
d) jest prawdziwe, np x=0
b) jest nieprawdziwe bo d jest prawdziwe, a 1-sin1>0
c) zważywszy na zbiory wartości f(x)=2 tylko wtedy gdy cos sinx=1 oraz sincosx=-1. Ta druga równość nie może być spełniona, bo siny=-1 dla \(\displaystyle{ y=\frac{3\pi}{2}+2k\pi}\), a żadna z liczb takiej postaci nie należy do zbioru wartości cosinusa

zad 3 rozpisujemy dalej
\(\displaystyle{ \sin x (\cos x +1)\geq 1}\) ponieważ cosx+1 jest zawsze nieujemne, to sinx tez musi być
\(\displaystyle{ \sin x \cos x \geq 1-\sin x}\)
Ponieważ prawa strona jest zawsze nieujemna, to lewa też musi być, czyli sinx i cosx muszą być tych samych znaków, a więc oba dodatnie
podnosimy obustronnie do kwadratu:
\(\displaystyle{ \sin^2 x \cos^2 x \geq 1-2\ sin x+\sin^2x}\)
zamieniamy cosinus na sinus z jedynki trygonometrycznej i po uporządkowaniu mamy
\(\displaystyle{ \sin^4x-2\sin x +1\leq 0\ \Rightarrow\ (\sin x-1)(\sin^3x+\sin^2 x +\sin x-1)\leq 0}\)
sinx-1 jest zawsze niedodatnie, więc to co w nawiasie musi być nieujemne
można pokazać (z tw Sturma) ten wielomian ma tylko 1 pierwiastek rzeczywisty. jest on oczywiście niewymierny (ani 1 ani -1 nie spełnia równania a innych pierwiastków wymiernych nie ma); nie można go znaleźć żadną prostą metodą (wychodzi ze wzorów Cardano); postać tego pierwiastka jest okropna podejrzewam więc, że gdzieś w treści zadania jest błąd (no chyba, że mnie się coś pokiełbasiło, sprawdź sobie)

Pierwiastek ten, niech się nazywa a, jest liczbą między 0.5 a 0.6 - wtedy nierówność przyjmuje postać sinx>=a. Dodatkowo sin x i cos x muszą być dodatnie, więc rozwiązaniami są tylko kąty pierwszej ćwiartki - wobec tego rozwiązaniem jest suma przedziałów (arcsin a+2k pi, pi/2 +2k pi)


Pozdrawiam.