Funkcje tryg i nierówność, znaleźć zbiór rozwiązań.

[piotrek9299]

\(\displaystyle{ x \in (0;2 \pi)}\)
trzeba znaleźć zbiór rozwiązań takiej oto nierówności:
\(\displaystyle{ 4sin \frac{x}{2} \cdot cosx \cdot cos \frac{3x}{2}<sin2x}\)


znaleźć sumę pierwiastków równania:
\(\displaystyle{ \left(sin6x + sin4x \right) ^{2}+sin^2x=1}\)
jeśli \(\displaystyle{ x \in \left[ - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]}\)
z góry dzięki

[claine]

1)
na początek:
\(\displaystyle{ 2sin\frac{x}{2}cos\frac{3x}{2}=sin2x-sinx\\}\)
teraz nierówność:
\(\displaystyle{ 2(sin2x-sinx)cosx<sin2x\\
2sin2xcosx-2sinxcosx-sin2x<0\\
2sin2xcosx-sin2x-sin2x<0\\
2sin2x(cosx-1)<0\\
(sin2x<0 \wedge cosx>1)\vee(sin2x>0 \wedge cosx<1)}\)
pierwszy przypadek: sprzeczność
drugi:
\(\displaystyle{ 2x \in (0,\Pi) \wedge x \in(0,2\Pi)\\
x\in(0,\frac{\Pi}{2})}\)

2)
tutaj jest jedynka trygonometryczna, to w nawiasie musi się równać \(\displaystyle{ cos^{2}x}\).
\(\displaystyle{ (2sin5xcosx)^{2}=cos^{2}x\\
2sin5xcosx=cosx\vee 2sin5xcosx=-cosx}\)
pierwszy przypadek:
\(\displaystyle{ cosx(2sin5x-1)=0\\
cosx=0:x\in\lbrace-\frac{\Pi}{2};\frac{\Pi}{2}\rbrace}\)
tu suma wynosi zero..
\(\displaystyle{ 2sin5x-1=0:x\in...}\)
drugi:
\(\displaystyle{ cosx(2sin5x+1)=0\\}\)
w 1. \(\displaystyle{ sin5x=\frac{1}{2}}\), w 2. \(\displaystyle{ sin5x=-\frac{1}{2}}\), a sin to funkcja nieparzysta, więc fuma pierwiastków wynosi 0.

[piotrek9299]

dzięki wielkie!
ale dlaczego sin6x+sin4x=2sin5xcosx
??

[miodzio1988]

Wzór trygonometryczny:
\(\displaystyle{ sina+ sinb= 2 sin\frac{a+b}{2} cos\frac{a-b}{2}}\)