iloczyn tangensów kątów w trójkącie

[lukasz.kaz]

W pewnym zadaniu muszę uzależnić pole trojkąta o bokach a,b,c i kątach \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \gamma}\) od jego obwodu i \(\displaystyle{ \tg \frac{\alpha}{2}}\), \(\displaystyle{ \tg \frac{\beta}{2}}\) i \(\displaystyle{ \tg \frac{\gamma}{2}}\). Nie wiem tylko jak udowodnić że
\(\displaystyle{ \tg \frac{\alpha}{2}}\)\(\displaystyle{ \cdot}\)\(\displaystyle{ \tg \frac{\beta}{2}}\) + \(\displaystyle{ \tg \frac{\alpha}{2}}\)\(\displaystyle{ \cdot}\)\(\displaystyle{ \tg \frac{\gamma}{2}}\) + \(\displaystyle{ \tg \frac{\beta}{2}}\)\(\displaystyle{ \cdot}\)\(\displaystyle{ \tg \frac{\gamma}{2}}\)=1. A tak będzie na 100%. tylko jak to udowodnić?

[bzyk12]

Jest gotowy na to wzór :
\(\displaystyle{ P_{\Delta}=p ^{2} tg \frac{\alpha}{2}tg \frac{\beta}{2}tg \frac{\gamma}{2}}\) gdzie p-połowa obwodu trójkata
a teraz dowód:(bok a leży naprzeciwko alfa;b na przeciwko beta;c naprzeciwko gamma)
1)wiedząc że \(\displaystyle{ tg \frac{\alpha}{2}= \sqrt{ \frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)} }}\)(to można udowodnić korzystając ze wzoru na połówkę kąta i tw. cosinusów)
2)zapisujemy iloczyn tangensów:
\(\displaystyle{ tg \frac{\alpha}{2} \cdot tg\frac{\beta}{2} \cdot tg \frac{\gamma}{2}= \sqrt{ \frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)} } \cdot \sqrt{ \frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)} } \cdot \sqrt{ \frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)} }= \sqrt{ \frac{(p-a) ^{2}(p-b) ^{2}(p-c) ^{2} }{p ^{3}(p-a)(p-b)(p-c) } }= \sqrt{ \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p ^{3} } }= \frac{1}{p} \cdot \sqrt{ \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} }= \frac{1}{p} \cdot \sqrt{ \frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p ^{2} } }= \frac{1}{p ^{2} } \cdot P_{\Delta}}\)
czyli wynika z tego:
\(\displaystyle{ tg \frac{\alpha}{2} \cdot tg \frac{\beta}{2} \cdot tg\frac{\gamma}{2}= \frac{P_{\Delta}}{p ^{2} } \Rightarrow P_{\Delta}=p ^{2}tg \frac{\alpha}{2}tg \frac{\beta}{2}tg \frac{\gamma}{2}}\)

[lukasz.kaz]

Dzięki wielkie