układ równań trygonometrycznych

[Shameyka]

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha}\)należące do przedziału \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\), dla których układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x\cos \alpha-y=1 \\
x-2y\cos \alpha =1 \end{cases}}\)
nie ma rozwiązania.
Jeśli ktoś ma chwilkę czasu proszę o pomoc:)

[soku11]

Bardzo szybko i bezproblemowo wychodzi metoda wyznacznikow. Liczysz wszystkie wyznaczniki i sprawdzasz kiedy zeruje sie wyznacznik glowny, a pozostale dwa nie(zeby nie byl to uklad nieoznaczony-nieskonczenie wiele rozwiazan).

Pozdrawiam.

[Shameyka]

Mozesz mi pokazać jak to zadanie rozwiązac??:D

[soku11]

\(\displaystyle{ W=
\left|\begin{array}{cc}
2\cos\alpha & -1\\
1 & -2\cos\alpha
\end{array}\right|=
1-4\cos^2\alpha\\
W=0:\\
-4\cos^2\alpha=-1\\
\cos^2\alpha=\frac{1}{4}\\
\sqrt{\cos^2\alpha}=\frac{1}{2}\\
|\cos\alpha|=\frac{1}{2}\\
\cos\alpha=\frac{1}{2}\;\;\vee\;\;\cos\alpha=-\frac{1}{2}\\
W_x=
\left|\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & -2\cos\alpha
\end{array}\right|=-2\cos\alpha+1\\
W_x=0:\\
-2\cos\alpha+1=0\\
\cos\alpha=\frac{1}{2}\\
W_y=
\left|\begin{array}{cc}
2\cos\alpha & 1\\
1 & 1
\end{array}\right|=2-1=1\\
W_y=0:\\
\alpha\in[0;2\pi]\\
W=0\;\wedge\;W_x\neq 0\;\wedge\;W_y\neq 0:\\
\cos\alpha=-\frac{1}{2},\;\;\alpha\in[0;2\pi]\\
\ldots}\)

Dalej juz wiadomo jak rozwiazac takie rownanie.

Pozdrawiam.

[belferkaijuz]

\(\displaystyle{ \begin{cases} (2cos \alpha ) \cdot x-y=1 \\ x+(-2cos\alpha) \cdot y \end{cases}}\)
wyznacznjki jak u SoKu, adalej może być tak:
rozwiąz. nie istnieje \(\displaystyle{ \Leftrightarrow W=0 \wedge (W_X \neq 0 \vee W_y \neq 0)}\)
zatem dla \(\displaystyle{ 1+2cos\alpha=0 \Rightarrow cos\alpha= \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha= \frac{\pi}{3}+2k\pi \vee \alpha=- \frac{\pi}{3 +2k\pi}}\)-- 22 mar 2009, o 22:42 --\(\displaystyle{ 1+cos\alpha=0 \Leftrightarrow cos\alpha=- \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha= \frac{2\pi}{3}+2k\pi \vee \alpha=- \frac{2\pi}{3}+2k\pi}\)
przykro mi -zgubiłam "-"