\(\displaystyle{ sin^{3}x + cos ^{3}x < 1}\)
Ze wzorów skróconego mnożenia doszedłem do postaci:
\(\displaystyle{ (sinx+cosx)(1-sinxcosx)<1}\)
Dalej nie mam pomysłu jak sie za to zabrać. Probowałem rozmnażać, grupować, jakieś wzory,ale nic nie chce mi wyjść.
Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Pozdrawiam
Rozwią ż nierówność
-
klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Rozwią ż nierówność
dla krótkości: \(\displaystyle{ s=\sin x,\ c=\cos x}\). teraz: \(\displaystyle{ s^3+c^3<s^2+c^2}\)
\(\displaystyle{ s^2(1-s)+c^2(1-c)>0}\). z jasnych względów, nierówność ta na ogół zachodzi (\(\displaystyle{ s^2, c^2\geq 0,\ 1-c,1-s\geq 0}\) kiedy może ona nie zachodzić? wtedy, gdy oba składniki są jednocześnie równe 0, czyli gdy \(\displaystyle{ x=\pi/2 + 2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=2k\pi}\)
\(\displaystyle{ s^2(1-s)+c^2(1-c)>0}\). z jasnych względów, nierówność ta na ogół zachodzi (\(\displaystyle{ s^2, c^2\geq 0,\ 1-c,1-s\geq 0}\) kiedy może ona nie zachodzić? wtedy, gdy oba składniki są jednocześnie równe 0, czyli gdy \(\displaystyle{ x=\pi/2 + 2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=2k\pi}\)