Witam!
Potrzebuję pomocy, chociaż wskazówki ;].
1)\(\displaystyle{ 3^{sin^{2} x}}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ 3^{cos^{2} x}}\)\(\displaystyle{ +2}\)
2)\(\displaystyle{ 4(log_{2}cosx)^{2}}\)\(\displaystyle{ +}\)\(\displaystyle{ log_{2}}\)\(\displaystyle{ (1+cos2x)=3}\)
2 równania trygonometryczne
-
mcbob
- Użytkownik
- Posty: 479
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 19:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poland
- Pomógł: 69 razy
2 równania trygonometryczne
Zad.1
Jedynym rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ 3^{a}= 3^{b}+2}\) są liczby \(\displaystyle{ \begin{cases} a=1 \\ b=0 \end{cases}}\)
więc w tym konkretnym przypadku mamy \(\displaystyle{ \begin{cases} \sin ^{2}x=1 \\ \cos ^{2}x=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} sinx=1 \vee sinx=-1 \\ cosx=0 \end{cases}}\)
rozwiązując ten układ mamy \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}+k\pi ; k \in C}\)
Zad.2
Po rozpisaniu \(\displaystyle{ \cos2x=2\cos ^{2}x-1}\) i podstawowych działaniach na logarytmach otrzymujemy
\(\displaystyle{ (log _{2}\cos ^{2}x) ^{2} + log _{2}\cos ^{2}x -2=0}\)
podstawienie \(\displaystyle{ log _{2} \cos ^{2}x=t}\) i mamy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ t ^{2} +t-2=0}\)
czyli \(\displaystyle{ t=-2 \vee t=1}\)
teraz liczymy x
\(\displaystyle{ log _{2}\cos ^{2}x = -2 \vee log _{2}\cos ^{2}x = 1}\)
\(\displaystyle{ \cos ^{2}x = \frac{1}{4} \vee \cos ^{2}x = 2}\) to jest sprzeczne
\(\displaystyle{ cosx = \frac{1}{2} \vee cosx = - \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{3}+k\pi \vee x= \frac{2}{3}\pi +k\pi ; k \in C}\)
Jedynym rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ 3^{a}= 3^{b}+2}\) są liczby \(\displaystyle{ \begin{cases} a=1 \\ b=0 \end{cases}}\)
więc w tym konkretnym przypadku mamy \(\displaystyle{ \begin{cases} \sin ^{2}x=1 \\ \cos ^{2}x=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} sinx=1 \vee sinx=-1 \\ cosx=0 \end{cases}}\)
rozwiązując ten układ mamy \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}+k\pi ; k \in C}\)
Zad.2
Po rozpisaniu \(\displaystyle{ \cos2x=2\cos ^{2}x-1}\) i podstawowych działaniach na logarytmach otrzymujemy
\(\displaystyle{ (log _{2}\cos ^{2}x) ^{2} + log _{2}\cos ^{2}x -2=0}\)
podstawienie \(\displaystyle{ log _{2} \cos ^{2}x=t}\) i mamy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ t ^{2} +t-2=0}\)
czyli \(\displaystyle{ t=-2 \vee t=1}\)
teraz liczymy x
\(\displaystyle{ log _{2}\cos ^{2}x = -2 \vee log _{2}\cos ^{2}x = 1}\)
\(\displaystyle{ \cos ^{2}x = \frac{1}{4} \vee \cos ^{2}x = 2}\) to jest sprzeczne
\(\displaystyle{ cosx = \frac{1}{2} \vee cosx = - \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{3}+k\pi \vee x= \frac{2}{3}\pi +k\pi ; k \in C}\)