Dany jest trójkąt o bokach a,b,c oraz katach \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\). Udowodnić, że między obwodem tego trójkąta a promieniem R okręgu opisanego na tym trójkącie zachodzi związek:
\(\displaystyle{ a+b+c=8Rcos \frac{\alpha}{2}cos \frac{\beta}{2}cos \frac{\gamma}{2}}\)-- 16 mar 2009, o 21:45 --problem rozwiązany. Skorzystałem ze wzoru na polówkę kąta:
\(\displaystyle{ cos \frac{\alpha}{2}= \sqrt{ \frac{p(p-a)}{bc} }}\) (p-połowa obwodu trójkata)
ale czekam na wasze rozwiązania może ktoś z was ma ciekawszy sposób.
Przy okazji jak udowodnić tą równość:
\(\displaystyle{ cos \frac{\alpha}{2}= \sqrt{ \frac{p(p-a)}{bc} }}\) bo korzystałem z gotowca.
związek między obwodem a funkcjami trygonometrycznymi w t...
-
Potekk
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 2 gru 2007, o 12:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piastów
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 35 razy
związek między obwodem a funkcjami trygonometrycznymi w t...
powinno pójść z tw. cosinusow
\(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2-2bccos \alpha \\
cos \alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}\)
\(\displaystyle{ cos \frac{ \alpha }{2}= \sqrt{ \frac{cos \alpha +1}{2} }}\)
\(\displaystyle{ cos^2 \frac{ \alpha }{2}= \frac{ \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+1 }{2}= \frac{b^2+2bc+c^2-a^2}{4bc}= \frac{(b+c)^2-a^2 }{4bc} = \frac{(a+b+c)(a+b+c-2a)}{4bc}= \frac{ \frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{a+b+c-2a}{2} }{bc}= \frac{p(p-a)}{bc}}\)
\(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2-2bccos \alpha \\
cos \alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}\)
\(\displaystyle{ cos \frac{ \alpha }{2}= \sqrt{ \frac{cos \alpha +1}{2} }}\)
\(\displaystyle{ cos^2 \frac{ \alpha }{2}= \frac{ \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+1 }{2}= \frac{b^2+2bc+c^2-a^2}{4bc}= \frac{(b+c)^2-a^2 }{4bc} = \frac{(a+b+c)(a+b+c-2a)}{4bc}= \frac{ \frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{a+b+c-2a}{2} }{bc}= \frac{p(p-a)}{bc}}\)