wykazanie nierówności

[rogal_26]

1.Wykaż, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ x \in (0; \frac{\pi}{2} )}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \tg x+ \frac{1}{\sin x} - \frac{\sin x}{1 + \cos x} \ge 2}\)
2. Oblicz:
\(\displaystyle{ \tg 115 ^{o}}\)

Prosiłbym o pomoc

[piasek101]

1.
- zamień tangensa na iloraz sin przez cos

- pomnóż stronami przez wspólny mianownik

- poredukuj

- doprowadź do postaci \(\displaystyle{ (co\mbox{ś})^2\geq 0}\)

[arekklimkiewicz]

\(\displaystyle{ tgx + \frac{1+cosx}{sinx + sinxcosx} - \frac{sin ^{2}x }{sinx + sinxcosx} \ge 2}\)

\(\displaystyle{ tgx + \frac{1 + cosx - sin ^{2}x }{sinx + sinxcosx} \ge 2}\)

\(\displaystyle{ tgx + \frac{cosx + cos ^{2}x }{sinx(1 + cosx)} \ge 2}\)

\(\displaystyle{ tgx + \frac{cosx(1 + cosx) }{sinx(1 + cosx)} \ge 2}\)

\(\displaystyle{ tgx + \frac{cosx}{sinx} \ge 2}\)

\(\displaystyle{ tgx + ctgx \ge 2}\)

\(\displaystyle{ \frac{sinx}{cosx} + \frac{cosx}{sinx} \ge 2}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{sinxcosx} \ge 2}\)

\(\displaystyle{ 1 \ge 2sinxcosx}\)

\(\displaystyle{ sin ^{2}x + cos ^{2}x - 2sinxcosx \ge 0}\)

\(\displaystyle{ (sinx - cosx)^{2} \ge 0}\)

[rogal_26]

Aha... ;]
A to drugie zadanie wiecie jak zrobić?

[piasek101]

...........
\(\displaystyle{ tgx + ctgx \ge 2}\)

To raczej trzeba dokończyć.

[arekklimkiewicz]

Musisz skorzystać z funkcji sumy i róznicy kątów, ale sprawdz czy to napewno chodzi o tg115 bo to bedzie ciezko zeby sprowadzic to tych wzorów.

[rogal_26]

tak... to chodzi o tg115

[arekklimkiewicz]

jak powiedział piasek: "równania trzeciego stopnia i wzory Cardano" - próbuj.

[piasek101]

równania trzeciego stopnia i wzory Cardano - próbuj.

Dlaczego bez cudzysłowu ?
[edit] - aby wyznaczyć np. tg10 (bo tg15 jest znany).