Wyznacz alfa

[inetakd]

Witam,
Mam problem z zadankiem.
Polecenie: Wyznacz \(\displaystyle{ \alpha,\alpha}\) należy do \(\displaystyle{ \langle 0, 2\pi)}\) wiedząc, że
\(\displaystyle{ \tg\alpha = 1}\) i \(\displaystyle{ \sin \alpha <0}\)

Na razie daję ten jeden przykład, bo nie umiem tego zadania zacząć, a przykładów jest 10.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ \tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=1 \Rightarrow \sin \alpha=\cos \alpha}\)
I teraz wystarczy to podstawić do jedynki trygonometrycznej.

[inetakd]

Mógłbym prosić zrobienie tego przykładu tak do końca? Bo próbuję, próbuję i nie wiem co trzeba z tym zrobić.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ \sin ^{2}\alpha+\cos ^{2}\alpha=1 \\
\sin ^{2}\alpha+\sin ^{2}\alpha=1 \\
2\sin ^{2}\alpha=1 \\
\sin ^{2}\alpha=\frac{1}{2} \\
\sin \alpha=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \iff \alpha=\frac{5\pi}{4} \vee \alpha=\frac{7\pi}{4}}\)

[inetakd]

Czyli muszę wiedzieć, że \(\displaystyle{ \sin \alpha =- \frac{\sqrt{2}}{2}}\) to 45 stopni i zamienić to na radiany, tak?
A ten \(\displaystyle{ x}\), to co oznacza, bo w odpowiedziach w książce go nie mam

[Nakahed90]

Na radiany zamieniać nie musisz, ale z reguły kąty zamiast w stopniach w tego typu zadaniach są w podawane w mierze łukowej.

[inetakd]

Mam np. \(\displaystyle{ \cos \alpha = - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) i \(\displaystyle{ \sin \alpha < 0}\)
W wyniku wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\), a powinno być \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{6}}\).
Co mogę robić źle?

[Nakahed90]

Spójrz na wykres funkcji kosinus i sinus i zobacz, w której ćwiartce obie funkcje są ujemne i wtedy napisz rozwiązanie. Ty napisałeś rozwiązanie dla ćwiartki I, a w tej zarówno kosinus jak i sinus są dodatnie.

[inetakd]

Dzięki, w między czasie zauważyłem błąd

[TheStachu96]

Odświeżam. Przykład, który był tutaj zrobiony rozumiem, ale nie mogę sobie poradzić z kolejnymi, więc byłbym wdzięczny, gdyby ktoś pomógł mi rozwiązać choć jeszcze jeden, może mi się rozjaśni. Mam dane:
\(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{1}{2} \wedge \tg \alpha >0}\)
Prosiłbym o przedstawienie krok po kroku jak to rozwiązać

[Vether]

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}>0 \wedge \cos \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha >0}\)

Wszystkie funkcje przyjmują wartości dodatnie, więc \(\displaystyle{ \alpha}\) należy do pierwszej ćwiartki.

\(\displaystyle{ \alpha = 60^o}\)

Sinus:

\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1}\)

\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{ \sqrt{3} }{2} \vee \sin \alpha=- \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

Ale wiemy, że \(\displaystyle{ \sin \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

[TheStachu96]

Dzięki wielkie, już rozumiem -- 8 maja 2013, o 16:57 --A co z takim przykładem:
\(\displaystyle{ \cos \alpha =- \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) \(\displaystyle{ \wedge \sin \alpha <0}\) ?
Bo po podstawieniu do jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin \alpha =- \frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ \sin \alpha \wedge \cos \alpha}\) są ujemne w trzeciej ćwiartce, zatem od \(\displaystyle{ 270^\circ}\) powinno się odjąć \(\displaystyle{ 30^\circ}\). Jednak w odpowiedziach jest inny wynik, mianowicie \(\displaystyle{ 210^\circ}\)

[mortan517]

Nie powinno się odjąć tylko dodać. Gdy masz w pierwszej to masz po prostu \(\displaystyle{ 30^\circ}\), gdy w drugiej \(\displaystyle{ 90^\circ+ 30^\circ= 120^\circ}\), a gdy w trzeciej \(\displaystyle{ 180^\circ+ 30^\circ= 210^\circ}\)