Potrzebowałbym pomocy w równaniach:
a)\(\displaystyle{ 3sinx-5cosx=0}\)
b)\(\displaystyle{ sinx+cosx+2sinxcosx=1}\)
c)\(\displaystyle{ sinx+cosx= \frac{cos2x}{1-sin2x}}\)
d)\(\displaystyle{ 2cosx=1+sinx}\)
Próbowałem podnosić stronami do kwadratu, ale wtedy wzrasta liczba rozwiązań, a czasem trudno sprawdzić czy dane rozwiązanie spełnia równanie.
Proszę więc o wykonanie tych równań innym sposobem.
ciekawe równania sumy i różnicy
-
frej
ciekawe równania sumy i różnicy
No to po kolei, w miarę wolnego czasu dokończę, ile będzie trzeba.
a) Chcesz wyznaczyć tutaj \(\displaystyle{ x}\) ?
Jeśli tak, to będzie ciężko tak na moje oko. Jeśli zaś satysfakcjonują Cię wartości funkcji ( tzn. funkcje cyklometryczne przy wyznaczeniu iksa) to robimy tak:
\(\displaystyle{ \frac{3}{5}=\frac{cosx}{sinx} \\ \\ \frac{9}{25}=\frac{1-sin^2{x}}{sin^2{x}}}\)
Uporządkować, wzory skróconego mnożenia.
-- 5 marca 2009, 21:43 --
c)
Dziedzina
\(\displaystyle{ sinx+cosx=\frac{cos 2x}{(sin - cos x)^2}}\)
\(\displaystyle{ (sin x -cosx)(sinx + cosx)=sin^2{x}-cos^2{x}=-cos2x=\frac{cos 2x}{sinx -cos x}}\)
Jak \(\displaystyle{ cos 2x=0}\) to łatwo dalej, a jak \(\displaystyle{ cos 2x \neq 0}\) to
\(\displaystyle{ cosx=1+sinx}\)
Do kwadratu, zmienna pomocnicza, rownanie kwadratowe
-- 5 marca 2009, 21:44 --
d) Do kwadratu, zmienna pomocnicza i równanie kwadratowe.
-- 5 marca 2009, 21:49 --
b) Jakby się nie bać liczenia to można tak:
\(\displaystyle{ cos x = \frac{1-sinx}{1+2sinx}}\)
Po kwadratu, \(\displaystyle{ t=sinx}\) i jedziemy, może wyjdzie coś dobrego.
Pomyślę jeszcze nad ładniejszym rozwiązaniem tego przykładu.
-- 5 marca 2009, 21:52 --
b) Lepiej
\(\displaystyle{ sinx+cosx=1-sin2x \; cosx \quad |^2\\ \\1+sin 2x=1+sin^2{2x}-2sin{2x}}\)
zmienna pomocnicza i łatwe równanie kwadratowe.-- 5 marca 2009, 21:52 --b) Lepiej
\(\displaystyle{ sinx+cosx=1-2sinx \; cosx \quad |^2\\ \\1+sin 2x=1+sin^2{2x}-2sin{2x}}\)
zmienna pomocnicza i łatwe równanie kwadratowe.
a) Chcesz wyznaczyć tutaj \(\displaystyle{ x}\) ?
Jeśli tak, to będzie ciężko tak na moje oko. Jeśli zaś satysfakcjonują Cię wartości funkcji ( tzn. funkcje cyklometryczne przy wyznaczeniu iksa) to robimy tak:
\(\displaystyle{ \frac{3}{5}=\frac{cosx}{sinx} \\ \\ \frac{9}{25}=\frac{1-sin^2{x}}{sin^2{x}}}\)
Uporządkować, wzory skróconego mnożenia.
-- 5 marca 2009, 21:43 --
c)
Dziedzina
\(\displaystyle{ sinx+cosx=\frac{cos 2x}{(sin - cos x)^2}}\)
\(\displaystyle{ (sin x -cosx)(sinx + cosx)=sin^2{x}-cos^2{x}=-cos2x=\frac{cos 2x}{sinx -cos x}}\)
Jak \(\displaystyle{ cos 2x=0}\) to łatwo dalej, a jak \(\displaystyle{ cos 2x \neq 0}\) to
\(\displaystyle{ cosx=1+sinx}\)
Do kwadratu, zmienna pomocnicza, rownanie kwadratowe
-- 5 marca 2009, 21:44 --
d) Do kwadratu, zmienna pomocnicza i równanie kwadratowe.
-- 5 marca 2009, 21:49 --
b) Jakby się nie bać liczenia to można tak:
\(\displaystyle{ cos x = \frac{1-sinx}{1+2sinx}}\)
Po kwadratu, \(\displaystyle{ t=sinx}\) i jedziemy, może wyjdzie coś dobrego.
Pomyślę jeszcze nad ładniejszym rozwiązaniem tego przykładu.
-- 5 marca 2009, 21:52 --
b) Lepiej
\(\displaystyle{ sinx+cosx=1-sin2x \; cosx \quad |^2\\ \\1+sin 2x=1+sin^2{2x}-2sin{2x}}\)
zmienna pomocnicza i łatwe równanie kwadratowe.-- 5 marca 2009, 21:52 --b) Lepiej
\(\displaystyle{ sinx+cosx=1-2sinx \; cosx \quad |^2\\ \\1+sin 2x=1+sin^2{2x}-2sin{2x}}\)
zmienna pomocnicza i łatwe równanie kwadratowe.
-
szymek12
- Użytkownik
- Posty: 659
- Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 136 razy
- Pomógł: 54 razy
ciekawe równania sumy i różnicy
Problem jest tylko taki, że po podniesieniu do kwadratu wychodzą wartości stopni z minutami, a potem trudno jest sprawdzić czy spełniają one rozwiązanie.
-
frej
ciekawe równania sumy i różnicy
Mówiłem Ci, że ciężko będzie wyznaczyć dokładne wartości kątów. Łatwo można jednak sprawdzić, znając wartości funkcji trygonometrycznych, czy te wartości równanie spełniają.
-
szymek12
- Użytkownik
- Posty: 659
- Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 136 razy
- Pomógł: 54 razy
ciekawe równania sumy i różnicy
Do podpunktu b przyszedł mi jeszcze lepszy pomysł:
\(\displaystyle{ sinx+cosx+2sinxcosx=1}\)
\(\displaystyle{ sinx+cosx+(sinx+cosx) ^{2}-sin ^{2}x - cos ^{2}x =1}\)
\(\displaystyle{ sinx+cosx+(sinx+cosx) ^{2}-2=0}\)
Zmienna pomocnicza: \(\displaystyle{ t=sinx+cosx(t \in <- \sqrt{2}; \sqrt{2}>)}\)
Otrzymujemy jedyne rozwiązanie \(\displaystyle{ t=1}\)
Zatem korzystając ze wzorów otrzymujemy:
\(\displaystyle{ cos(x- \frac{\pi}{4})= \frac{\sqrt{2} }{2}}\), a stąd rozwiązania: \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}+2k\pi \vee x=2k\pi}\), \(\displaystyle{ k \in C}\)
\(\displaystyle{ sinx+cosx+2sinxcosx=1}\)
\(\displaystyle{ sinx+cosx+(sinx+cosx) ^{2}-sin ^{2}x - cos ^{2}x =1}\)
\(\displaystyle{ sinx+cosx+(sinx+cosx) ^{2}-2=0}\)
Zmienna pomocnicza: \(\displaystyle{ t=sinx+cosx(t \in <- \sqrt{2}; \sqrt{2}>)}\)
Otrzymujemy jedyne rozwiązanie \(\displaystyle{ t=1}\)
Zatem korzystając ze wzorów otrzymujemy:
\(\displaystyle{ cos(x- \frac{\pi}{4})= \frac{\sqrt{2} }{2}}\), a stąd rozwiązania: \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}+2k\pi \vee x=2k\pi}\), \(\displaystyle{ k \in C}\)