Mając dane sin + cos = \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
Oblicz:
a) sin* cos =
b) |sin - cos| =
c) \(\displaystyle{ sin^{3}}\) + \(\displaystyle{ cos^{3}}\) =
d) \(\displaystyle{ sin^{4}}\) + \(\displaystyle{ cos^{4}}\) =
W a) mi wyszło " \(\displaystyle{ -\frac{1}{4}}\)"
Do reszty nawet nie wiem jak się zabrać pomocy
Równanie trygonometryczne -Sin. i Cos.
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równanie trygonometryczne -Sin. i Cos.
Niech \(\displaystyle{ x=sin\alpha+cos\alpha,y=sin\alpha cos\alpha}\), wówczas:
\(\displaystyle{ |sin\alpha-cos\alpha|=\sqrt{(sin\alpha-cos\alpha)^{2}}=\sqrt{sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha-2sin\alpha cos\alpha}=\sqrt{1-2y}}\)
\(\displaystyle{ sin^{3}\alpha+cos^{3}\alpha=(sin\alpha+cos\alpha)^{3}-3sin\alpha cos\alpha (sin\alpha+cos\alpha)=x^{3}-3xy=z}\)
\(\displaystyle{ (sin^{3}\alpha+cos^{3}\alpha)(sin\alpha+cos\alpha) =sin^{4}\alpha+cos^{4}\alpha+sin\alpha cos\alpha (sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha)=sin^{4}\alpha+cos^{4}\alpha+cos\alpha sin\alpha}\), zatem \(\displaystyle{ sin^{4}\alpha+cos^{4}\alpha=(sin^{3}\alpha+cos^{3}\alpha)(sin\alpha+cos\alpha) - sin\alpha cos\alpha=xz-y}\)
\(\displaystyle{ |sin\alpha-cos\alpha|=\sqrt{(sin\alpha-cos\alpha)^{2}}=\sqrt{sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha-2sin\alpha cos\alpha}=\sqrt{1-2y}}\)
\(\displaystyle{ sin^{3}\alpha+cos^{3}\alpha=(sin\alpha+cos\alpha)^{3}-3sin\alpha cos\alpha (sin\alpha+cos\alpha)=x^{3}-3xy=z}\)
\(\displaystyle{ (sin^{3}\alpha+cos^{3}\alpha)(sin\alpha+cos\alpha) =sin^{4}\alpha+cos^{4}\alpha+sin\alpha cos\alpha (sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha)=sin^{4}\alpha+cos^{4}\alpha+cos\alpha sin\alpha}\), zatem \(\displaystyle{ sin^{4}\alpha+cos^{4}\alpha=(sin^{3}\alpha+cos^{3}\alpha)(sin\alpha+cos\alpha) - sin\alpha cos\alpha=xz-y}\)