Zbadaj, dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) istnieją rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ a) \sin3x - \sin( \frac{\Pi}{3}-3x)=m, \ b) \sin^{4}x + cos^{4}x=m.}\)
Zadanie z parametrem
-
Potekk
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 2 gru 2007, o 12:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piastów
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 35 razy
Zadanie z parametrem
a)
\(\displaystyle{ sin3x-sin( \frac{\pi}{3}-3x)=2sin \left( \frac{3x-(\frac{\pi}{3}-3x) }{2}\right) cos \left( \frac{3x+(\frac{\pi}{3}-3x)}{2} \right)=\\2cos \frac{\pi}{6}sin(3x-\frac{\pi}{6})= \sqrt{3} \cdot sin(3x-\frac{\pi}{6})\\
sin(3x-\frac{\pi}{6})\in <-1;1> \Rightarrow \sqrt{3} \cdot sin(3x-\frac{\pi}{6}) \in <- \sqrt{3} ; \sqrt{3} >}\)
b)
\(\displaystyle{ sin^4+cos^4= (sin^2x+cos^2x)-2sin^2xcos^2x=1- \frac{(2sinxcosx)^2}{2}=1- \frac{sin2x}{2}\\sin2x \in <-1;1> \Rightarrow sin^{2}2x \in <0;1> \Rightarrow \frac{sin^{2}2x}{2} \in <0; \frac{1}{2} > \Rightarrow -\frac{sin^{2}2x}{2} \in <-\frac{1}{2};0 > \Rightarrow 1-\frac{sin^{2}2x}{2} \in <\frac{1}{2};1 >}\)
\(\displaystyle{ sin3x-sin( \frac{\pi}{3}-3x)=2sin \left( \frac{3x-(\frac{\pi}{3}-3x) }{2}\right) cos \left( \frac{3x+(\frac{\pi}{3}-3x)}{2} \right)=\\2cos \frac{\pi}{6}sin(3x-\frac{\pi}{6})= \sqrt{3} \cdot sin(3x-\frac{\pi}{6})\\
sin(3x-\frac{\pi}{6})\in <-1;1> \Rightarrow \sqrt{3} \cdot sin(3x-\frac{\pi}{6}) \in <- \sqrt{3} ; \sqrt{3} >}\)
b)
\(\displaystyle{ sin^4+cos^4= (sin^2x+cos^2x)-2sin^2xcos^2x=1- \frac{(2sinxcosx)^2}{2}=1- \frac{sin2x}{2}\\sin2x \in <-1;1> \Rightarrow sin^{2}2x \in <0;1> \Rightarrow \frac{sin^{2}2x}{2} \in <0; \frac{1}{2} > \Rightarrow -\frac{sin^{2}2x}{2} \in <-\frac{1}{2};0 > \Rightarrow 1-\frac{sin^{2}2x}{2} \in <\frac{1}{2};1 >}\)