2 Równania trygonometryczne

[GT]

Witam, prosze o pomoc w rozwiązaniu poniższych równań:

1. \(\displaystyle{ 4sin^{2}x + sin^{2}(2x) = 3}\)

2. \(\displaystyle{ 4sin^{2}x - 3sinx * cosx + 3cos^{2}x = 2}\)

[Tristan]

1. Pamiętaj, że \(\displaystyle{ \cos^2x=1-\sin^2 x}\)

\(\displaystyle{ 4\sin^2x+(2 \sin x \cos x)^2=3}\)
\(\displaystyle{ 4\sin^2x+4 \sin^2(1-\sin^2 x)=3}\)
\(\displaystyle{ 8\sin^2 x -4 \sin^4 x=3}\)
\(\displaystyle{ 4 \sin^4 x -8 \sin^2 x+3=0}\)
zał.:\(\displaystyle{ \sin^2 x=t, t }\)
No i masz równanie dwukwadratowe, tylko jeden pierwiastek \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\) spełnia założenia, a dalej już sobie poradzisz.

[GT]

Jeszcze przy okazji chciałbym prosić zeby mi ktoś powiedział jak roziązać to zadanie:

3. Rozwiąż graficznie:
sinx>cosx , x należy {0;2Pi}

[kotek]

Rysujesz wykresy sin i cos i patrzysz dla jakich x wykres sin jest nad wykresem cos.

A drugie równanie rozwiązałeś?

[GT]

Drugiego równania jeszcze nie rozwiązałem :/

[ymar]

2.
trzy zbędne kwadraty przerabiamy na trójkę:
\(\displaystyle{ \sin^{2}{x}-3\sin{x}\cos{x}+1=0}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2}{x}\pm 3\sqrt{1-\sin^{2}{x}}+1=0}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2}{x}+1=\pm 3\sqrt{1-\sin^{2}{x}}}\)
\(\displaystyle{ \sin^{4}{x}+2\sin^{2}{x}+1=9-9\sin^{2}{x}}\)
\(\displaystyle{ \sin^{4}{x}-7\sin^{2}{x}-8=0}\)

[kotek]

\(\displaystyle{ 4sin^{2}x - 3sinx * cosx + 3cos^{2}x = 2}\)

Ładniejszy sposób:
\(\displaystyle{ 2sin^{2}x - 3sinx * cosx + cos^{2}x + 2= 2}\)
\(\displaystyle{ 2sin^{2}x - 3sinx * cosx + cos^{2}x = 0}\), dzielisz obie strony przez \(\displaystyle{ cos^{2}x}\)
\(\displaystyle{ 2tg^{2}x - 3tgx + 1 = 0}\)
dalej już wiadomo co robić.