cyklometryczne i logarytm

biplna · Post autor: **biplna** » 26 lut 2009, o 22:16

Może mi ktoś po ludzku wytłumaczyć, jak mam zrobić następujące zadanie przykładowe z mojej strony?

\(\displaystyle{ \arccos[\log(x-3)]\leq\frac{\pi}{2}}\)

Arst · Post autor: **Arst** » 27 lut 2009, o 13:30

Ja bym to tak zrobił:
\(\displaystyle{ log(x-3)=t \\
\arccos(t)\leq\frac{\pi}{2} \ \ to \ na \ podstawie \ wykresu \ funkcji \ arkus \ cosinus \\
t \in [0;1] \Rightarrow t \geq 0 \wedge t \leq 1}\)
i teraz należałoby rozwiązać dwie nierówności logarytmiczne:
\(\displaystyle{ log(x-3) \geq 0 \wedge log(x-3) \leq 1 \\}\)
po ich rozwiązaniu otrzymasz:
\(\displaystyle{ x \in [4;13]}\)

tomekture8 · Post autor: **tomekture8** » 27 lut 2009, o 13:50

Arst · Post autor: **Arst** » 27 lut 2009, o 15:14

tomekture8
1) na jakiej podstawie ograniczasz dziedzinę do przedziału: \(\displaystyle{ [3.1;4]}\). Skąd ta \(\displaystyle{ 4}\)? Ja otrzymałem dziedzinę: \(\displaystyle{ D_n=[3.1;13].}\)

2) rozwiązanie takiej nierówności raczej się robi przez podstawienie. Poza tym łatwo sprawdzić, że Twoje rozwiązanie jest błędne:
\(\displaystyle{ \arccos[log(x-3)]}\)
wstawiam chociażby \(\displaystyle{ 3.1}\) za \(\displaystyle{ x}\) i otrzymuję:
\(\displaystyle{ \arccos(-1) = \pi}\)
a jak wiadomo \(\displaystyle{ \pi}\) jest większe od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\). Sprzeczność. Prawidłowe rozwiązanie to : \(\displaystyle{ x \in [4;13]}\)

tomekture8 · Post autor: **tomekture8** » 27 lut 2009, o 15:27

No tak, masz rację... Zrobiłem dla \(\displaystyle{ arccos(log(x-3) \ge \frac{\pi}{2}}\)