Tożsamości trygonometryczne

[Skilled]

Wykaż, że prawdziwe są tożsamości:
\(\displaystyle{ \frac{sin4 \alpha + sin6 \alpha }{cos4 \alpha - cos6 \alpha } = ctg \alpha}\)

[maximus_matematicus]

Wykaż, że prawdziwe są tożsamości:
\(\displaystyle{ \frac{sin4 \alpha + sin6 \alpha }{cos4 \alpha - cos6 \alpha } = ctg \alpha}\)

%

Zakladamy ze alfa = a ;
Rozpatrujemy lewa strone danego rownania.

( sin 4a + sin 6a ) / ( cos 4a - cos 6a )

najpierw przeksztalcam licznik ulamka korzystajac ze wzoru :
sin a + sin b = +2 sin [ ( a + b ) / 2 ] cos [ ( a - b ) / 2 ] ;

korzystajac z regoly przemiennosci dodawania
sin 6a + sin 4a = +2 sin [ ( 6a + 4a ) / 2 ] cos [ ( 6a - 4a ) / 2 ] = +2 sin 5a cos a ;

przeksztalcam wyrazenie w mianowniku ulamka korzystajac ze wzoru :
cos a - cos b = -2 sin [ ( a + b ) / 2 ] sin [ ( a - b ) / 2 ] ;

cos 4a - cos 6a = -2 sin [ ( 4a + 6a ) / 2 ] sin [ ( 4a - 6a ) / 2 ] = -2 sin 5a ( -sin a ) = +2 sin 5a sin a ;

po podstawieniu otrzymuje
______________________________________________________________

( +2 sin 5a cos a ) / ( +2 sin 5a sin a ) = ( cos a ) / ( sin a ) = ctg a
______________________________________________________________

Dane rownanie jest wiec prawdziwe ( tozsamosc jest prawdziwa ) .
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^