Równanie trygonometryczne

[Ens]

Witam, mam problem z takim zadaniem :
\(\displaystyle{ cos ^{2} x-3sinxcosx+1=0}\)

[lukasz1804]

Mamy

\(\displaystyle{ 0=\cos^2x-3\sin x\cos x+1=\cos^2x-3\sin x\cos x+\sin^2x+\cos^2x=2\cos^2x-3\sin x\cos x+\sin^2x=2\cos^2x-\sin x\cos x-2\sin x\cos x+\sin^2x=\cos x(2\cos x-\sin x)-\sin x(2\cos x-\sin x)=(2\cos x-\sin x)(\cos x-\sin x)}\),

więc \(\displaystyle{ 2\cos x-\sin x=0}\) lub \(\displaystyle{ \cos x-\sin x=0}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ \cos x\neq 0}\), gdyż w przeciwnym razie mielibyśmy \(\displaystyle{ \sin x=-1}\) lub \(\displaystyle{ \sin x=1}\) i żadna z dwu powyższych równości nie byłaby spełniona. Wobec tego równoważnie mamy \(\displaystyle{ \tan x=\frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ \tan x=1}\). Zatem \(\displaystyle{ x=\arctan\frac{1}{2}+k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\).