Uprościc wyrazenie sprowadzając do postaci iloczynowej:
\(\displaystyle{ 1+ \cos 4x + \cos 8x\ ...+\cos4nx}\)
Pewna suma
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Pewna suma
Niech \(\displaystyle{ C=1+cos4x+cos8x+...+cos4nx}\).
Z jednej strony, na mocy wzoru de Moivra \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(cosx+isinx)^{4k} =C+i \cdot \sum_{k=0}^{n}sin4kx}\)
Z drugiej strony, na mocy wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(cosx+isinx)^{4k}= \frac{1-(cosx+isinx)^{4(n+1)}}{1-(cosx+isinx)} = \frac{1-cos4(n+1)x-isin4(n+1)x}{1-cosx-isinx}=\frac{2sin^{2}2(n+1)x-2isin2(n+1)xcos2(n+1)x}{2sin^{2}\frac{x}{2}-2isin\frac{x}{2}cos{x}{2}}= \frac{sin2(n+1)x}{sin\frac{x}{2}}\left(\frac{sin2(n+1)x-icos2(n+1)x}{sin\frac{x}{2}-icos\frac{x}{2}}\right) = \frac{sin2(n+1)x}{sin\frac{x}{2}}\left(\frac{cos2(n+1)x+isin2(n+1)x}{cos\frac{x}{2}+isin\frac{x}{2}}\right) = \frac{sin2(n+1)x}{sin\frac{x}{2}}\left(\frac{(cosx+isinx)^{2(n+1)}}{(cosx+isinx)^{\frac{1}{2}}}\right) = \frac{sin2(n+1)x}{sin\frac{x}{2}}\left((cosx+isinx)^{\frac{4n+3}{2}}\right) = \frac{sin2x}{sin\frac{x}{2}}\left(cos\frac{4n+3}{2}x+isin\frac{4n+3}{2}x\right)}\)
Stąd \(\displaystyle{ C=Re\left(\frac{sin2(n+1)x}{sin\frac{x}{2}}\left(cos\frac{4n+3}{2}x+isin\frac{4n+3}{2}x\right)\right) = \frac{sin2(n+1)x}{sin\frac{x}{2}}\cdot cos\frac{(4n+3)x}{2}}\)
Sprawdź jeszcze dokładnie wszystkie przejścia, łatwo się pomylić
Z jednej strony, na mocy wzoru de Moivra \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(cosx+isinx)^{4k} =C+i \cdot \sum_{k=0}^{n}sin4kx}\)
Z drugiej strony, na mocy wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(cosx+isinx)^{4k}= \frac{1-(cosx+isinx)^{4(n+1)}}{1-(cosx+isinx)} = \frac{1-cos4(n+1)x-isin4(n+1)x}{1-cosx-isinx}=\frac{2sin^{2}2(n+1)x-2isin2(n+1)xcos2(n+1)x}{2sin^{2}\frac{x}{2}-2isin\frac{x}{2}cos{x}{2}}= \frac{sin2(n+1)x}{sin\frac{x}{2}}\left(\frac{sin2(n+1)x-icos2(n+1)x}{sin\frac{x}{2}-icos\frac{x}{2}}\right) = \frac{sin2(n+1)x}{sin\frac{x}{2}}\left(\frac{cos2(n+1)x+isin2(n+1)x}{cos\frac{x}{2}+isin\frac{x}{2}}\right) = \frac{sin2(n+1)x}{sin\frac{x}{2}}\left(\frac{(cosx+isinx)^{2(n+1)}}{(cosx+isinx)^{\frac{1}{2}}}\right) = \frac{sin2(n+1)x}{sin\frac{x}{2}}\left((cosx+isinx)^{\frac{4n+3}{2}}\right) = \frac{sin2x}{sin\frac{x}{2}}\left(cos\frac{4n+3}{2}x+isin\frac{4n+3}{2}x\right)}\)
Stąd \(\displaystyle{ C=Re\left(\frac{sin2(n+1)x}{sin\frac{x}{2}}\left(cos\frac{4n+3}{2}x+isin\frac{4n+3}{2}x\right)\right) = \frac{sin2(n+1)x}{sin\frac{x}{2}}\cdot cos\frac{(4n+3)x}{2}}\)
Sprawdź jeszcze dokładnie wszystkie przejścia, łatwo się pomylić
-
cubixer
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 30 mar 2008, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 4 razy
Pewna suma
Wszystko ok tylko mam pytanie , nie mozna tego zadania inaczej rozwiazac nie wykorzystujac liczb zespolonych?
-
cubixer
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 30 mar 2008, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 4 razy
Pewna suma
dopiero teraz sprawdzilem dla zabawy ten wzor podstawiajac jakies wartosci i liczac na kalkulatorze i z cała pewnościa moge stwierdzic ze jest źle wyprowadzony...-- 24 marca 2009, 20:14 --Czy mógłby ktoś porządnie ten wzór wyprowadzic tak żeby nie był błedny?