chce pokazać, coś takiego:
\(\displaystyle{ |asinx+bcosx| \le \sqrt{a^2+b^2}}\)
Kombinowałem w taka stronę (ale to za kiepskie jest):
\(\displaystyle{ |asinx+bcosx| \le |a||sinx|+|b||cosx| \le |a|+|b|}\)
Próbowałem też podnieść obie strony do kwadratu i udowodnić następnie \(\displaystyle{ |asinx+bcosx|^2 \le a^2+b^2}\) ale nie poszło.
Liczę na jakiś fajne wskazówki.
A przy okazji chciałbym też wskazówkę do pokazania:
\(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}x \le sinx \le x}\)
Nierówności trygonometryczne
-
miodzio1988
Nierówności trygonometryczne
\(\displaystyle{ |asinx+bcosx| \le \sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ (asinx+bcosx)^{2} }\le \sqrt{a^2+b^2}}\)
podnosimy do kwadratu
...i jak juz przeniesiesz \(\displaystyle{ a^2+b^2}\) to bedziesz wiedzial co zrobic;]
wzorki skroconego mnozenia i te sprawy;]
\(\displaystyle{ \sqrt{ (asinx+bcosx)^{2} }\le \sqrt{a^2+b^2}}\)
podnosimy do kwadratu
...i jak juz przeniesiesz \(\displaystyle{ a^2+b^2}\) to bedziesz wiedzial co zrobic;]
wzorki skroconego mnozenia i te sprawy;]
-
nowa90
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 10 wrz 2007, o 21:48
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Grudziądz
- Pomógł: 1 raz
Nierówności trygonometryczne
Po drodze trzeba jeszcze użyć jedynki trygonometrycznej. Wtedy wszystko się ładnie powinno zwinąć.
-
miodzio1988
Nierówności trygonometryczne
\(\displaystyle{ sinx \le x \Leftrightarrow sinx-x \le 0}\)
rozpatrzmy taką funkcje:
\(\displaystyle{ f(x)= sinx -x}\)
liczymy pochodną tej funkcji, przedzialy monotonicznosci....itd.
rozwiazanie jest dosyc oczywiste.
rozpatrzmy taką funkcje:
\(\displaystyle{ f(x)= sinx -x}\)
liczymy pochodną tej funkcji, przedzialy monotonicznosci....itd.
rozwiazanie jest dosyc oczywiste.
-
Frey
- Użytkownik
- Posty: 3299
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 243 razy
Nierówności trygonometryczne
ok, dzięki wielkie, ze wskazówki, w tym drugim fakt to chyba łatwy sposób, ciekawe czy z drugiej strony pójdzie w ten sam sposób (sobie policzę ).
Co do pierwszego, to też postaram sie przeliczyć, gdyby coś nie poszło to napisze.
-- 19 lutego 2009, 17:42 --
dobra po przeliczałem
w nierówności po kilku (faktycznie prostych przekształceniach). Doszedłem do:
\(\displaystyle{ -(acosx-bsinx)^2 \le 0}\)
a skoro to w nawiasie zawsze jest nieujemne, to nierówność jest prawdziwa.
Co do tego drugiego zadania, to nierówność \(\displaystyle{ sinx \le x}\) niestety jest oczywista. Trzeba pokazać tę drugą.
Rozumując podobnie. (Dodam, że \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{\pi}{2})}\))
\(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}x - sinx \le 0}\)
pochodna
\(\displaystyle{ -cosx + \frac{2}{\pi}}\)
no to mamy tutaj niezbyt fajna sytuacje funkcja minus cosx przesunięta do góry o to coś. Czyli pochodna jest dla pewnych x najpierw ujemna potem dodania. (Widać z wykresu i ciągłości, że gdzieś przyjmuje 0). Jest to minimum tak?
Teraz chce jakoś ładnie umotywować, że ta wyjściowa "funkcja" spełnia nierówność. Skoro funkcja ta jest monotoniczna na przedziałach i ma minimum. To (bodajże) z Weierstrassa wystarczy sprawdzić jakie wartości przyjmuje na krańcach przedziału \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{\pi}{2})}\), największa z tych wartości, będzie największą wartością funkcji na przedziale.
\(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}0 - sin0 = 0-0=0 \le 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}* \frac{\pi}{2} - sin \frac{\pi}{2} = 1-1=0 \le 0}\)
Skoro dla największych wartości funkcji osiąganych na przedziale funkcja spełnia nierówność, to z monotoniczności i ciągłości. Wynika, że funkcja spełnia ta nierówność.
Rozumowanie może być?
Co do pierwszego, to też postaram sie przeliczyć, gdyby coś nie poszło to napisze.
-- 19 lutego 2009, 17:42 --
dobra po przeliczałem
w nierówności po kilku (faktycznie prostych przekształceniach). Doszedłem do:
\(\displaystyle{ -(acosx-bsinx)^2 \le 0}\)
a skoro to w nawiasie zawsze jest nieujemne, to nierówność jest prawdziwa.
Co do tego drugiego zadania, to nierówność \(\displaystyle{ sinx \le x}\) niestety jest oczywista. Trzeba pokazać tę drugą.
Rozumując podobnie. (Dodam, że \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{\pi}{2})}\))
\(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}x - sinx \le 0}\)
pochodna
\(\displaystyle{ -cosx + \frac{2}{\pi}}\)
no to mamy tutaj niezbyt fajna sytuacje funkcja minus cosx przesunięta do góry o to coś. Czyli pochodna jest dla pewnych x najpierw ujemna potem dodania. (Widać z wykresu i ciągłości, że gdzieś przyjmuje 0). Jest to minimum tak?
Teraz chce jakoś ładnie umotywować, że ta wyjściowa "funkcja" spełnia nierówność. Skoro funkcja ta jest monotoniczna na przedziałach i ma minimum. To (bodajże) z Weierstrassa wystarczy sprawdzić jakie wartości przyjmuje na krańcach przedziału \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{\pi}{2})}\), największa z tych wartości, będzie największą wartością funkcji na przedziale.
\(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}0 - sin0 = 0-0=0 \le 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}* \frac{\pi}{2} - sin \frac{\pi}{2} = 1-1=0 \le 0}\)
Skoro dla największych wartości funkcji osiąganych na przedziale funkcja spełnia nierówność, to z monotoniczności i ciągłości. Wynika, że funkcja spełnia ta nierówność.
Rozumowanie może być?