równwnia i nierówności trygonometryczne

[ak87]

czy ktos mogłby mi pomoc rozwiązac te rownia i nierowności byłabym wdzieczna



1) \(\displaystyle{ 3^{sin^{2} x} = 2+ 3^{ cos^{2} x }}\)
2) \(\displaystyle{ /cos x /^{sin^{2} x - \frac{3}{2} sin x +\frac{1}{2 } } = 1}\)
3) \(\displaystyle{ sin 2x + sin^{3} 2x + sin^{5} 2x … = \frac{2}{3}}\)
4) \(\displaystyle{ 2^{sin x-1} > \frac{1}{2 } \sqrt{2}}\) gdzie x należy
5) \(\displaystyle{ cos^{2}x +cos^{3}x + cos ^{4}x + … < 1+ cos x}\)
6) \(\displaystyle{ 3^{log tg x } + 3^{log ctg x } = 2}\)
7) \(\displaystyle{ 8^{1-sin x + sin^{2}x + …} = 4}\)

[LecHu :)]

1.\(\displaystyle{ 3(sin^{2}x-cos^{2}x)=2}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x-cos^{2}x=\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x+cos^{2}x=1}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x=\frac{5}{6}}\)
\(\displaystyle{ cos^{2}x=\frac{1}{6}}\)


//edit
Zle przepisalem

[arigo]

1.\(\displaystyle{ 3(sin^{2}x-cos^{2}x)=2}\)

tam jest 3 do potegi tego sinusa....

[Tristan]

2.
Równanie to jest spełnione, jeśli cos x=1, tzn. dla \(\displaystyle{ x_{1}=2k \pi}\). Jeżeli cos x=-1, tzn. \(\displaystyle{ x= \pi +2k \pi}\), wtedy wykładnik potęgi równa się \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i równanie jest sprzeczne.
Jeśeli \(\displaystyle{ \cos x 0}\), tzn. \(\displaystyle{ x \frac{\pi}{2} + k \pi}\), to równanie jest spełnione, jeżeli \(\displaystyle{ \sin^2 x- \frac{3}{2} \sin x + \frac{1}{2}=0}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ \sin x=1 \sin x= \frac{1}{2}}\) przy czym sin x=1 odpada, ponieważ wtedy cos x=0. Równanie \(\displaystyle{ \sin x=\frac{1}{2}}\) jest spełnione dla \(\displaystyle{ x_{2}= \frac{ \pi}{6}+ 2k \pi, x_{3}= \frac{5}{6} \pi + 2k \pi}\). Ostatecznie więc równanie dane w zadaniu jest spełnione dla \(\displaystyle{ x_{1}=2k \pi, x_{2}=\frac{ \pi}{6}+ 2k \pi, x_{3}= \frac{5}{6} \pi + 2k \pi}\).

[ak87]

czyli w pierwszym jak ma byc?
a kolejne ktos umie rozwiazac ?

[LecHu :)]

To mozna na podstawienie:
\(\displaystyle{ sin^{2}x=t}\)
\(\displaystyle{ cos^{2}x=z}\)
\(\displaystyle{ 3^{t}=2+3^{z}}\)
Rownanie jest spelnione dla t=1 i z=0.
Czyli:
\(\displaystyle{ sinx=1}\)
\(\displaystyle{ cosx=0}\)
To rownanie spelniaja sinus i cosinus kata prostego.

[Tristan]

\(\displaystyle{ \large 3^{\sin^2 x}=2+3^{\cos^2 x}}\)
\(\displaystyle{ \large 3^{1- \cos^2 x}=2+3^{\cos^2 x}}\)
\(\displaystyle{ \large \frac{3}{3^{\cos^2 x}}=2+ 3^{\cos^2 x}}\)
Zał:\(\displaystyle{ \large 3^{\cos^2 x}=z, z>0}\)
\(\displaystyle{ \large \frac{3}{z}=2+z}\)
\(\displaystyle{ \large 3=2z+z^2}\)
\(\displaystyle{ z^2+2z-3=0}\)
Jedyny pierwiastek spełniający założenia to \(\displaystyle{ z=1}\), więc:
\(\displaystyle{ \large 3^{\cos^2 x}=1}\)
\(\displaystyle{ \large 3^{\cos^2 x}=3^{0}}\)
\(\displaystyle{ \large \cos^2 x=0}\)
\(\displaystyle{ \large \cos x=0}\)
\(\displaystyle{ \large x=\frac{\pi}{2} + k \pi}\), gdzie k należy do całkowitych.

[LecHu :)]

W siudmym widac ze wykladnik musi byc rowny \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) czyli:
1-to co mialas na mysli=\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)Tylko zdradz mi co tam ma byc po jedynce, ten samotny plus jest taki tajemniczy

[Tristan]

W zadaniu 7 chodzi zapewnie o nieskończony szereg geometryczny. Pierwszy wyraz to 1, a q=-sin x, czyli suma tego szeregu to \(\displaystyle{ \frac{1}{1+\sin x}}\). Podstawiając to do zadania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \large 8^{\frac{1}{1+\sin x}}=4}\)
\(\displaystyle{ \large 2^{\frac{3}{1+ \sin x}}=2^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{1+ \sin x}=2}\)
\(\displaystyle{ 3=2+ 2 \sin x}\)
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{1}{2}}\)

[ak87]

w tym 7 po tym plusie sa kropeczki....

a potraficie zrobic 3,4,5,6 ??

kurcze babka zadala nam 65 zadan i tylko tych paru nie potrafie zrobic ...
Bylabym wdzieczna za pokazanie jak je rozwiazać ....

[Tristan]

Rozumiem, że w 5 też jest szereg?Jeśli tak, to:
Korzystając z wzoru na sumę szeregu geometrycznego, gdzie pierwszym wyrazem jest \(\displaystyle{ \cos^2 x}\) a q to cos x, to możemy napisać, że:
\(\displaystyle{ \frac{ \cos^2 x}{1- \cos x}}\)

[ariadna]

4)
\(\displaystyle{ 2^{sinx-1}>\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2^{sinx-1}>2^{-0,5}}\)
\(\displaystyle{ sinx-1>-0,5}\)
\(\displaystyle{ sin x>0,5}\)
Dla podanego przedziału, można to z wykresu odczytac.

[ak87]

dzieki wszyskim za pomoc ..naprawde sie przydała