Wiedzac, że\(\displaystyle{ \sin x + \cos x =\frac{1}{\sqrt{2}}}\) oblicz \(\displaystyle{ \sin^3 x + \cos^3 x}\)
Prosze o pomoc z gory dziekuje
sin^3 x + cos^3 x
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
sin^3 x + cos^3 x
Najpierw podniesiemy obustronnie \(\displaystyle{ \sin x + \cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}}\) do kwadratu, no i pamiętając o jedynce trygonometrycznej otrzymamy, że \(\displaystyle{ 1+ 2 \sin x \cos x=\frac{1}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \sin x \cos x = -\frac{1}{4}}\)
Teraz znów podniesiemy początkowe wyrażenie, tym razem do sześcianu i otrzymamy, ze wzorów skróconego mnożenia, że:
\(\displaystyle{ \sin^3 x + 3 \sin^2 x \cos x + 3 \sin x \cos^2 x + \cos ^3 x = \frac{1}{2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin^3 x + \cos^3 x + 3 \sin x \cos x ( \sin x + \cos x)=\frac{1}{ 2 \sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sin^3 x + \cos^3 x + 3 ( - \frac{1}{4} ) \frac{1}{ \sqrt{2}}=\frac{1}{ 2 \sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sin^3 x + \cos^3 x= \frac{5 \sqrt{2} }{8}}\)
Teraz znów podniesiemy początkowe wyrażenie, tym razem do sześcianu i otrzymamy, ze wzorów skróconego mnożenia, że:
\(\displaystyle{ \sin^3 x + 3 \sin^2 x \cos x + 3 \sin x \cos^2 x + \cos ^3 x = \frac{1}{2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin^3 x + \cos^3 x + 3 \sin x \cos x ( \sin x + \cos x)=\frac{1}{ 2 \sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sin^3 x + \cos^3 x + 3 ( - \frac{1}{4} ) \frac{1}{ \sqrt{2}}=\frac{1}{ 2 \sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sin^3 x + \cos^3 x= \frac{5 \sqrt{2} }{8}}\)