Równania trygonometryczne

[Fl3t05]

Cześć, mam problem z dwoma równaniami.

1. \(\displaystyle{ 3^{sin^{2}x} = 3^{cos^{2}x} + 2}\)

2. \(\displaystyle{ (\frac{1}{2})^{log^{2}_{0,5}sinx} + (sinx)^{log_{0,5}sinx} = 1}\)

[mmoonniiaa]

1. wskazówka: \(\displaystyle{ cos^2 x=1-sin^2 x}\), a następnie zmienna pomocnicza \(\displaystyle{ 3^{sin^2 x}=t}\)

[soku11]

1.
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*}
3^{\sin^2 x}&\;=\;&3^{\cos^2 x}+2\\
3^{\sin^2 x}&\;=\;&3^{1-\sin^2 x}+2\\
3^{\sin^2 x}&\;=\;&3\cdot 3^{-\sin^2 x}+2\\
3^{\sin^2 x}&\;=\;&3\cdot \frac{1}{3^{\sin^2 x}}+2\\
3^{\sin^2 x}&\;=\;& t,\;\;t>0\\
t&\;=\;&\frac{3}{t}+2\\
t^2-2t-3&\;=\;&0\\
(t+1)(t-3)&\;=\;&0\\
t&\;=\;&3\\
3^{\sin^2 x}&\;=\;& 3^1\\
\sin^2 x &\;=\;& 1\\
|\sin x| &\;=\;& 1
\end{eqnarray*}}\)

I dalej juz latwo

Pozdrawiam.

[mmoonniiaa]

2.
zmienna pomocnicza: \(\displaystyle{ log_{0,5} sinx=t \Rightarrow sinx=0,5^t}\)

\(\displaystyle{ 0,5^{t^2}+(0,5^t)^t=1\\
0,5^{t^2}+0,5^{t^2}=1\\
2 \cdot 0,5^{t^2}=1\\
0,5^{t^2}=0,5\\
t^2=1\\
t=1 \vee t=-1}\)
i dalej wróć do podstawienia

[Fl3t05]

Dziękuję.