Udowodnij, że zachodzi równość

[Aga2909]

\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5}=- \frac{1}{4}}\)

[buba72]

Nie ma jak to z samego rana pogimnastykować się przy trygonometrii. Postanowiłam Ci trochę pomóc i rozruszać szare komórki
Najpierw ze wzorów z których korzystam
1. \(\displaystyle{ 2sinx \cdot cosx = sin2x}\)
2. \(\displaystyle{ cos(\pi -x) = - cosx}\)
3. \(\displaystyle{ sin(\pi - x) = sin x}\)
Do dzieła:
Wychodzę od strony lewej ktorą możę obustronnie przez "1" która ma postać ułamka \(\displaystyle{ \frac{2sin \frac{\pi}{5} }{2sin \frac{\pi}{5} }}\) , otrzymując
\(\displaystyle{ \frac{2sin \frac{\pi}{5} \cdot cos \frac{\pi}{5} \cdot cos \frac{3\pi}{5} }{2sin \frac{\pi}{5} }}\)
w liczniku korzystam ze wzoru
nr 1 \(\displaystyle{ 2sin \frac{\pi}{5} \cdot cos \frac{\pi}{5} = sin \frac{2\pi}{5}}\)
nr 2 \(\displaystyle{ cos( \frac{3\pi}{5}) = cos(\pi- \frac{2\pi}{5}) = -cos \frac{2\pi}{5}}\)
otrzymuję śliczyny ułameczek
\(\displaystyle{ - \frac{sin \frac{2\pi}{5} \cdot cos \frac{2\pi}{5} }{2sin \frac{\pi}{5} }}\)
znowu mnożę licznik i manownik przez 2, po to aby skorzystać ze wzoru nr 1 w liczniku i otrzymuję następujący ułamek
\(\displaystyle{ - \frac{sin \frac{4\pi}{5}}{4sin \frac{\pi}{5} }}\)
przekształcam mianownik korzystając ze wzoru nr 3
otrzymując \(\displaystyle{ sin \frac{\pi}{5} = sin (\pi- \frac{4\pi}{5}) = sin \frac{4\pi}{5}}\) czyli mam
\(\displaystyle{ - \frac{sin \frac{4\pi}{5}}{4sin \frac{4\pi}{5} }}\)
skracam tego ślicznego sinusa otrzymując
L =\(\displaystyle{ - \frac{1}{4}}\)
zatem L=P

Zawsze zastanawiam się czy nie dałoby się prościej tego jakoś udowodnić, ale na chwilę obecną nic nie przychodzi mi do głowy.

[wb]

\(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{5} cos \frac{3\pi}{5}= \frac{2cos\frac{\pi}{5}sin\frac{3\pi}{5}cos\frac{3\pi}{5}}{2sin\frac{3\pi}{5}}= \frac{cos\frac{\pi}{5} \cdot sin\frac{6\pi}{5} }{2sin\frac{3\pi}{5}}= \frac{cos\frac{\pi}{5}sin(\pi+\frac{\pi}{5})}{2sin\frac{3\pi}{5}}= \\ = \frac{-2cos\frac{\pi}{5}sin\frac{\pi}{5}}{4sin\frac{3\pi}{5}}= \frac{-sin\frac{2\pi}{5}}{4sin\frac{3\pi}{5}} = \frac{-sin(\pi-\frac{3\pi}{5})}{4sin\frac{3\pi}{5}}= \frac{-sin\frac{3\pi}{5}}{4sin\frac{3\pi}{5}}= - \frac{1}{4}}\)