wykazać sin72

[yaro84]

W jaki sposób wykazać, że:

\(\displaystyle{ sin72^{o} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4}}\)

Z góry dzięki.

[piasek101]

Robiłbym tak (bo to pamiętam); prawdopodobnie istnieje krótszy (łatwiejszy) sposób :

Ponieważ :
\(\displaystyle{ cos36 \cdot cos72=0,25}\) (właśnie to pamiętam) można z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ cos36=\frac{1+\sqrt5}{4}}\)

a dalej \(\displaystyle{ sin36=\frac{\sqrt{10-2\sqrt 5}}{4}}\)

Na koniec :

\(\displaystyle{ sin72=2sin36cos36=...}\) (wychodzi to co masz podane).

[yaro84]

Tylko (nie napisałem) nie mogę korzystać z gotowych wzorów na kąty 36 stopni ;/

[Rogal]

Sposoby są w sumie dwa.
Albo rysujesz pięciokąt foremny i tam masz kąt 72 stopnie, jako kąt wewnętrzny tego pięciokąta i starasz się wyznaczyć jego sinus korzystając z faktu, że przekątne dzielą się w złotym stosunku (to też możesz wykazać).
Albo bawić się wzorami trygonometrycznymi na sinus sumy bodajże, układa się równanie na sinus 36 bądź 72 (a może jednak 18? ;p) stopni, które ma jeden przyzwoity pierwiastek wymierny, który odrzucamy, a co pozostaje daje nam dobrą wartość.

[yaro84]

Po przeanalizowaniu zadania wyszły mi rozwiązania:

1) \(\displaystyle{ sin72^{o} = - \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}\)

2) \(\displaystyle{ sin72^{o} = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}\)

3) \(\displaystyle{ sin72^{o} = - \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\)

4) \(\displaystyle{ sin72^{o} = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\)

Dlaczego tylko rozwiązanie (4) jest dobre, a inne nie?? Dlaczego je odrzucamy??

[Rogal]

Ujemne z oczywistych względów (sinus w pierwszej ćwiartce jest dodatni), natomiast drugie...
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \leq \frac{\sqrt{10-2}}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin 45^{o}}\)
Wiemy jednakże, że sinus w pierwszej ćwiartce jest rosnący, więc taka nierówność zajść nie może.
Swoją drogą gratuluję - tak niewiele Ci napisałem, a zrobiłeś całość (sam nie pamiętałem, więc napisałem tyle, co pamiętałem sposób ;p) : )

[piasek101]

Tylko (nie napisałem) nie mogę korzystać z gotowych wzorów na kąty 36 stopni ;/

Przecież napisałem Ci jak te wartości wyznaczyć (a nie przyjmować gotowe).