Dana jest równość:
\(\displaystyle{ \frac{sin2\alpha }{1+cos2\alpha } \cdot \frac{cos\alpha }{1+cos\alpha } = tg\frac{\alpha }{2}}\)
Sformułuj niezbędne założenia dla kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) i sprawdź, czy przy tych założeniach dana równość jest tożsamością trygonometryczną.
Tożsamość
-
moja-matematyka2009
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 9 lut 2009, o 15:43
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 13 razy
-
Morusek
- Użytkownik
- Posty: 127
- Rejestracja: 8 lut 2009, o 17:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 29 razy
Tożsamość
lewa strona jest równa:
\(\displaystyle{ \frac{sin2x}{1+cos2x} \cdot \frac{cosx}{1+cosx} = \frac{2 \cdot sinx \cdot cosx}{1+ cos^2 x - sin^2 x} \cdot \frac{cosx}{1+cosx} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{2sinxcosx}{1+cos^2 x - (1-cos^2x)} \cdot \frac{cosx}{1+cosx} = \frac{sinx}{1+cosx} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{2sin \frac{x}{2}cos \frac{x}{2} }{1+cos^2 \frac{x}{2} - sin^2 \frac{x}{2} } = \frac{2sin \frac{x}{2}cos \frac{x}{2} }{1+cos^2 \frac{x}{2} - 1 + cos^2 \frac{x}{2} } =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{sin \frac{x}{2} }{cos \frac{x}{2} } = tg \frac{x}{2}}\) = prawej stronie
Założenia :
1) \(\displaystyle{ \frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x \neq \pi+2k\pi}\)
2) \(\displaystyle{ 1 + cos2x \neq 0 \Leftrightarrow cos2x \neq -1 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} +k\pi}\)
3) \(\displaystyle{ 1+cosx \neq 0 \Leftrightarrow cosx \neq -1 \Leftrightarrow x \neq \pi +2k\pi}\)
Czyli reasumując \(\displaystyle{ x \neq \ \frac{\pi}{2} +k\pi}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin2x}{1+cos2x} \cdot \frac{cosx}{1+cosx} = \frac{2 \cdot sinx \cdot cosx}{1+ cos^2 x - sin^2 x} \cdot \frac{cosx}{1+cosx} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{2sinxcosx}{1+cos^2 x - (1-cos^2x)} \cdot \frac{cosx}{1+cosx} = \frac{sinx}{1+cosx} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{2sin \frac{x}{2}cos \frac{x}{2} }{1+cos^2 \frac{x}{2} - sin^2 \frac{x}{2} } = \frac{2sin \frac{x}{2}cos \frac{x}{2} }{1+cos^2 \frac{x}{2} - 1 + cos^2 \frac{x}{2} } =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{sin \frac{x}{2} }{cos \frac{x}{2} } = tg \frac{x}{2}}\) = prawej stronie
Założenia :
1) \(\displaystyle{ \frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x \neq \pi+2k\pi}\)
2) \(\displaystyle{ 1 + cos2x \neq 0 \Leftrightarrow cos2x \neq -1 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} +k\pi}\)
3) \(\displaystyle{ 1+cosx \neq 0 \Leftrightarrow cosx \neq -1 \Leftrightarrow x \neq \pi +2k\pi}\)
Czyli reasumując \(\displaystyle{ x \neq \ \frac{\pi}{2} +k\pi}\)