równanie trygonometryczne (sinus, tangens)

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
gribby
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 201
Rejestracja: 1 sty 2009, o 21:27
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 13 razy

równanie trygonometryczne (sinus, tangens)

Post autor: gribby »

W przedziale \(\displaystyle{ [0, 2 \Pi]}\) rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ 1- tg^2x + tg^4 x - tg^6 x +...= sin^2 3x}\)

Trygonometria nie jest moją mocną stroną-nie mam pojęcia co z tym zrobić, pomożecie?
Awatar użytkownika
meninio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1876
Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 467 razy

równanie trygonometryczne (sinus, tangens)

Post autor: meninio »

Suma po lewej stronie równania jest skończona jeśli:

\(\displaystyle{ |q|<1 \Leftrightarrow \left|-\tan^2 x \right| <1 \\ \\ -\tan^2 x<1 \wedge -\tan^2 x>-1 \\ \\ \tan ^2 x>-1 \wedge \tan^2 x<1\\}\)

Pierwsza nierówność jest spełniona dla każdego x, natomiast rozpisując drugą dostaniemy (oraz biorąc pod uwagę, że dziedzinę):

\(\displaystyle{ \tan x<1 \wedge \tan x>-1 \\ \\ x \in \langle 0;\frac{\pi}{4} ) \cup \left(\frac{3}{4}\pi;\frac{5}{4}\pi \right) \cup \left( \frac{7}{4}\pi;2\pi \rangle}\)

Teraz lewą stronę równania możemy zastąpić wzorem na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+\tan^2 x}=\sin^2 (3x) \\ \\ \frac{1}{1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}=\sin^2 (3x) \\ \\ \cos^ 2x= \sin^2 (3x) \\ \\ \left|\cos x \right| = \left|\sin 3x \right| \\ \\ \cos x=\sin 3x \vee \cos x=-\sin 3x \\ \\ \sin \left(\frac{\pi}{2}-x \right)=\sin 3x \vee \sin \left(\frac{\pi}{2}-x \right)=\sin (-3x) \\ \\ \frac{\pi}{2}-x=3x+2k\pi \vee \frac{\pi}{2}-x=-3x+2k\pi \\ \\ 4x=\frac{\pi}{2}-2k\pi \vee 2x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \\ \\ x=\frac{\pi}{8}-\frac{k\pi}{2} \vee x=-\frac{\pi}{4}+k\pi}\)

Wypiszemy teraz kilka przykładowych serii rozwiązań tak, aby wyznaczyć wszystkie rozwiązania należące do przedziału wyznaczonego z warunku istnienia sumy skończonej:

\(\displaystyle{ k=-3 \Rightarrow x=\frac{13}{8}\pi \vee x=-\frac{13}{4}\pi \\ \\ k=-2 \Rightarrow x=\frac{9}{8}\pi \vee x=-\frac{9}{4}\pi \\ \\ k=-1 \Rightarrow x=\frac{5}{8}\pi \vee x=-\frac{5}{4}\pi \\ \\ k=0 \Rightarrow x=\frac{1}{8}\pi \vee x=-\frac{1}{4}\pi \\ \\ k=1 \Rightarrow x=-\frac{3}{8}\pi \vee x=\frac{3}{4}\pi \\ \\k=2 \Rightarrow x=-\frac{7}{8}\pi \vee x=\frac{7}{4}\pi}\)

Z podanych rozwiązań wybieramy te które należą do: \(\displaystyle{ x \in \langle 0;\frac{\pi}{4} ) \cup \left(\frac{3}{4}\pi;\frac{5}{4}\pi \right) \cup \left( \frac{7}{4}\pi;2\pi \rangle}\)

A więc: \(\displaystyle{ x\in \lbrace \frac{9}{8}\pi, \frac{1}{8}\pi \rbrace}\)
ODPOWIEDZ