Oblicz tgx

[mea]

Cześć,

Mam kłopot z takim zadaniem:

Oblicz \(\displaystyle{ tgx}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ sin y= \frac{1}{ \sqrt{10}}}\) i \(\displaystyle{ x+2y= \frac{\pi}{4}}\) i \(\displaystyle{ x, y \in (0; \frac{\pi}{2})}\)

Z góry bardzo dziękuje.

[Morgus]

\(\displaystyle{ x+2y= \frac{\pi}{4}\ \ \rightarrow \ \ x=\frac{\pi}{4}-2y}\)

\(\displaystyle{ \sin y= \frac{1}{ \sqrt{10}}}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2} y+ \cos^{2} y =1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{10}+ \cos^{2} y=1}\)
\(\displaystyle{ \cos^{2} y=\frac{9}{10}}\)
\(\displaystyle{ \cos y = \frac{3}{\sqrt{10}} \vee \cos y = -\frac{3}{\sqrt{10}}}\)
A ponieważ: \(\displaystyle{ \ \ y \in \left(0;\frac{\pi}{2} \right) \ \ to:}\)
\(\displaystyle{ \cos y = \frac{3}{\sqrt{10}}}\)
\(\displaystyle{ \tg x = \tg (\frac{\pi}{4}-2y)=\frac{\sin (\frac{\pi}{4}-2y)}{\cos (\frac{\pi}{4}-2y)}= \frac{\sin \frac{\pi}{4} \cos 2y - \cos \frac{\pi}{4} \sin 2y}{\cos \frac{\pi}{4}\cos 2y + \sin \frac{\pi}{4} \sin 2y}=\frac{\sin \frac{\pi}{4}(\cos^{2} y - \sin^{2} y)-2\sin y \cos y \cos \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4}(\cos^{2} y - \sin^{2} y)+2 \sin \frac{\pi}{4}\sin y \cos y}}\)

Teraz wystarczy popodstawiać i wyliczyć (pozwolisz, że ze względu na niezbyt wygodny zapis w latexie tutaj tego nie uczynię), oczywiście możesz umiejętnie pozamieniać sobie niektóre wartości np \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{4}=\cos \frac{\pi}{4}}\) i poskracać jakoś, ale nie wiem czy warto. Mi ostatecznie wyszło:
\(\displaystyle{ \tg x =\frac{1}{7}}\)

Edit: Poprawiłem wynik końcowy (zrobiłem błąd przy podstawianiu).