rownanie trygonometryczno-logarytmiczne

[dabros]

Rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ log_{sin x}tg x<2log_{tg x}sin x +1}\).

[jimmy]

Założenia
\(\displaystyle{ sinx > 0 \wedge
sinx \neq 1 \wedge
tgx >0 \wedge
tgx \neq 1}\)

\(\displaystyle{ log_{sinx}tgx < \frac{1}{2log_{sinx}tgx} +1

2log^{2}_{sinx}tgx < 0

2log^{2}_{sinx}tgx < log^{2}_{sinx}1

2tgx \le 1

tgx \le 1/2}\)

[RyHoO16]

jimmy nie wiem na jakiej podstawie przeszedłeś z pierwszej linijki do drugiej tej nierówności.

Jak dla mnie to powinno być tak:

\(\displaystyle{ \log_{\sin x} \tg x<2\log_{\tg x}\sin x +1.}\)

\(\displaystyle{ \log_{\sin x} \tg x< \frac{2}{\log_{\sin x}\tg x}+1}\) teraz mnożąc obustronnie przez \(\displaystyle{ \log_{\sin x}\tg x}\) dostajemy równanie kwadratowe

\(\displaystyle{ \log^2_{\sin x}\tg x-\log_{\sin x}\tg x-2<0}\)

A dalej trzeba trochę pokombinować, bo nic nie teraz rozsądnego nie wymyślę

[JankoS]

Ustalem dziedzinę
\(\displaystyle{ (sinx>0 \wedge sinx \neq 1 \wedge tgx>0 \wedge tgx \neq 1) \Leftrightarrow x \in (2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi)-\{\frac{\pi}{4}+2k\pi\}}\).
Przekształcam lewą stronę nierówności i zamieniam podstawę logarytmu
\(\displaystyle{ L=log _{tgx} sin^2xtgx=\frac{log _{sinx}sin^2xtgx}{log _{sinx}tgx} .}\)
Wracam do nierówności
\(\displaystyle{ log _{sinx} tgx<\frac{log _{sinx}sin^2xtgx}{log _{sinx}tgx} =\frac{2+log _{sinx}tgx}{log _{sinx}tgx}.}\)

Teraz należy rozpatrzyć dwa przypadki: mianownik > 0 lub mianownik < 0.
Dla \(\displaystyle{ log _{sinx} tgx>0}\) nierówność jest równoważna poniższej
\(\displaystyle{ (log _{sinx} tgx)^2-log _{sinx} tgx-2=(log _{sinx} tgx+1)(log _{sinx} tgx-2)<0 \Leftrightarrow -1<log _{sinx} tgx<2}\).
No i to trzeba dokończyć.

[jimmy]

RyHoO16 teraz widzę błąd u siebie.
A dalej można podstawić zmienną t.