udowodnić nierówność

[Atraktor]

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Liczby rzeczywiste a1, a2, .... , an są tak dobrane, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\) spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ |a_{1} sinx + a_{2} sin2x + ... a_{n} sinnx | \le |sinx|}\)

Udowodnić nierówność:

\(\displaystyle{ |a_{1} +2a_{2} + ... + na_{n}| \le 1}\)


jak zabrać się za to zadanie? może z tw. Lagrange'a?

[majchro]

nie rozpatrując modułu, tak na początek, żeby pokombinować.

to dla n=2 wystarczy skorzystać z wzoru sin2x = 2sinxcosx

Jeżeli jest jakiś wzór uogólniony na sin(nx), to może tędy droga ...

-----------
EDYCJA: jeszcze zostaje cos ,musiałbym się dobrze zastanowić nad tym ...

------------------------------------
EDYCJA 2 :
Już coś mam , tylko to spiszę


\(\displaystyle{ |a_{1} sinx + a_{2} sin2x + ... a_{n} sinnx | \le |sinx|}\)

Udowodnić nierówność:

\(\displaystyle{ |a_{1} +2a_{2} + ... + na_{n}| \le 1 |* |sinx|}\)

Mnożymy przez |sinx|

\(\displaystyle{ |sinx|*|a_{1} +2a_{2} + ... + na_{n}| \le |sinx|}\)

Iloczyn modułów to moduł iloczynu (wł. modułu)

\(\displaystyle{ |sinx*a_{1} + sinx * 2a_{2} + ... + sinx* na_{n}| \le |sinx|}\)

Dalej chciałem porównywać kolejne wyrazy z założeniem, ale to też nie działa :/



EDYCJA:

Próbowałem też założenie podzielić przez |sinx|
wrzucić sinx do każdego czynnika i porównywać osobno każdy czynnik, zamieniając sin 2x = 2sinxcosx, ale wtedy już dla drugiego wyrazu ta nierówność nie pasuje (jest w złą stronę) :/

[Atraktor]

jest wzór ogólny na sin(nx), ale on też mi nie pomaga w tym zadaniu.

zatem jakieś inne pomysły?-- 26 stycznia 2009, 13:55 --przypuszczam, że poprzez "kombinowanie" nie uda się tego zrobić, bo też już próbowałem najróżniejsze metody i nic.

[helot88]

Wskazówka:Założyć że x nie jest 0. Podzielić przez moduł z sinx. Zauważyć COŚ. Po zauważeniu CZEGOŚ cieszyć się z rozwiązania. Nic więcej nie powiem.

[majchro]

Wskazówka:Założyć że x nie jest 0. Podzielić przez moduł z sinx.

Do tego już doszliśmy, tylko z czego dalej skorzystać. Możesz powiedzieć jakiego wzoru/twierdzenia użyć ?

[Atraktor]

jak podzielisz to rozpatrujesz każdy człon oddzielnie i tak mamy:
\(\displaystyle{ |\frac{sinx}{sinx}| \le 1}\) zatem zostaje a1
\(\displaystyle{ |\frac{sin2x}{sinx}| = |\frac{2sinxcosx}{sinx}| = |2cosx| \le 2}\) zatem zostaje 2a2

i tak rozpatrujemy każdy po kolei

[majchro]

Atraktor <- dziwne, próbowałem dzisiaj rozpatrzyć każdy z osobna i wychodziła mi nierówność w złą stronę :/

Ja to widziałem tak, że jeśli udowodnimy , że \(\displaystyle{ A_{n} \le B_{n}}\), gdzie

\(\displaystyle{ B_{n}}\) to współczynniki naszej nierówności z założenia prawdziwej (już po podzieleniu przez sinx), a \(\displaystyle{ A_{n}}\) to współczynniki z hipotezy.

dla wszystkich n

, to wtedy nierówność z hipotezy będzie spełniona.

Natomiast już dla n=2 mamy takie porównanie
\(\displaystyle{ 2 \le^{?}\frac{sin2x}{sinx}}\)

korzystając ze wzoru
\(\displaystyle{ 2 \le^{?}\frac{2sinx cosx}{sinx}}\)

czyli
\(\displaystyle{ 2 \le^{?}2cosx}\)

U nas z założenia x jest różne od zera, więc nierówność jest niespełniona, bo cos przyjmuje największą wartość w 0

Twojego sposobu niestety nie zrozumiałem.-- 27 stycznia 2009, 15:10 --Atraktor <-- już znam poprawną odpowiedź. Nie porównuje się poszczególnych wyrażeń. Podpowiem Ci, że trzeba skorzystać z znanej granicy

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{sinnx}{nx} = 1}\)

[helot88]

Gratulacje!!!! Taka ważna granica.Warto niej pamietać nie trzeba się pieprzyć z jakimiś wzorami algebraicznymi. Widzisz a jakbym powiedział to nie miałbyś takiej fajnej zabawy.

[majchro]

helot88 <--- Ja się aktualnie analizą zajmuję stosunkowo rzadko, nie ćwiczę na co dzień. Kiedyś na pewno bym pokombinował z tą granicą. Zabawy też nie miałem, bo zapytałem się o to na uczelni :]

[helot88]

To bardzo źle.