równanie prostej, miara kątów

mateusz.ex · Post autor: **mateusz.ex** » 22 sty 2009, o 18:20

Znajdz miare kąta ostrego, pod jakim przecinają sie proste o równaniach \(\displaystyle{ 2x+3y+15=0}\) i \(\displaystyle{ 5x-2y-10=0}\)

lukki_173 · Post autor: **lukki_173** » 22 sty 2009, o 19:48

Witam.
\(\displaystyle{ 2x+3y+15=0 \Rightarrow y=- \frac{2}{3}x-5}\)
\(\displaystyle{ 5x-2y-10=0 \Rightarrow y= \frac{5}{2}x-5}\)
\(\displaystyle{ - \frac{2}{3}x-5=\frac{5}{2}x-5}\)
Po drobnych rachunkach
\(\displaystyle{ x=0}\)
Zatem proste przecinają się w punkcie:
\(\displaystyle{ P=(0;-5)}\)

: AU; x6j7zs.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 83 razy

Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ x^2=29 \Rightarrow x=\sqrt{29}}\) oraz
\(\displaystyle{ y^2=8 \Rightarrow y=2\sqrt{2}}\)
Z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ 7^2=29+8-2\sqrt{29}*2\sqrt{2}cos\alpha}\)
Po rachunkach:
\(\displaystyle{ cos\alpha=- \frac{3\sqrt{58}}{58}}\)
\(\displaystyle{ \alpha=arccos- \frac{3\sqrt{58}}{58}}\)
\(\displaystyle{ \alpha \approx 113,2^{\circ}}\)
Czyli miara kąta ostrego to:
\(\displaystyle{ 180^{\circ}-113,2^{\circ}=66,8^{\circ}}\)
Pozdrawiam

mateusz.ex · Post autor: **mateusz.ex** » 22 sty 2009, o 20:19

\(\displaystyle{ - \frac{2}{3}x-5=\frac{5}{2}x-5}\) nie wychodzi mi tu 0, i wynik zgodnie z odpowiedziami powinnien wynosic około 78*.

lukki_173 · Post autor: **lukki_173** » 22 sty 2009, o 20:21

mateusz.ex pisze:\(\displaystyle{ - \frac{2}{3}x-5=\frac{5}{2}x-5}\) nie wychodzi mi tu 0

\(\displaystyle{ - \frac{2}{3}x-5=\frac{5}{2}x-5}\)

\(\displaystyle{ - \frac{2}{3}x=\frac{5}{2}x / *6}\)

\(\displaystyle{ -4x=15x \Rightarrow 19x=0 \Rightarrow x=0}\)

lukki_173 · Post autor: **lukki_173** » 22 sty 2009, o 20:24

A co do wyniku, to może się gdzieś pomyliłem w rachunkach. Prześledź jeszcze raz rozwiązanie i popraw ewentualne błędy.

mateusz.ex · Post autor: **mateusz.ex** » 22 sty 2009, o 20:32

mateusz.ex · Post autor: **mateusz.ex** » 22 sty 2009, o 21:01

nie wychodzi mi

lukki_173 · Post autor: **lukki_173** » 22 sty 2009, o 21:11

Może jest w odpowiedziach błąd? Przeanalizowałeś moje rozwiązanie?

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 22 sty 2009, o 21:25

lukki_173 pisze: \(\displaystyle{ y^2=8 \Rightarrow y=2\sqrt{2}}\)
Z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ 7^2=29+8-2\sqrt{29}*2\sqrt{2}cos\alpha}\)

gdy do \(\displaystyle{ y=- \frac{2}{3}x-5}\) podstawimy \(\displaystyle{ x=2}\) to wyjdzie \(\displaystyle{ y= \frac{-19}{3}}\) a nie \(\displaystyle{ y=-7}\)

lukki_173 · Post autor: **lukki_173** » 22 sty 2009, o 21:28

Tak, masz rację. Tam popełniłem błąd. Dziękuję.

lukki_173 · Post autor: **lukki_173** » 22 sty 2009, o 22:15

: AU; o6b4g3.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 83 razy

Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ z^2=7^2+1^2 \Leftrightarrow z^2=50 \Rightarrow z=5\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x^2=3^2+2^2 \Leftrightarrow x^2=13 \Rightarrow x=\sqrt{13}}\)
\(\displaystyle{ y^2=2^2+5^2 \Leftrightarrow y^2=29 \Rightarrow y=\sqrt{29}}\)
Z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ z^2=x^2+y^2-2xycos\alpha}\) zatem:
\(\displaystyle{ 50=29+13-2\sqrt{29}*\sqrt{13}cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ 2\sqrt{377}=-8}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=- \frac{4}{\sqrt{377}}}\)
\(\displaystyle{ \alpha=arccos(- \frac{4}{\sqrt{377}})}\)
\(\displaystyle{ \alpha \approx 102^{\circ}}\)
Zatem kąt ostry ma miarę:
\(\displaystyle{ 180^{\circ}-102^{\circ}=78^{\circ}}\)
Pozdrawiam serdecznie

JankoS · Post autor: **JankoS** » 22 sty 2009, o 22:17

Można tak.
Szukany kąt jest taki sam, jak kąt między wektorami \(\displaystyle{ (2,3), (5.-2)}\) prostopadłymi odpowiednio do pierwszej i pzostałej prostej. Dalej z iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ cos\phi=\frac{(2,3) \circ (5,-2)}{ \sqrt{4+9} \cdot \sqrt{25+4}}=\frac{4}{ \sqrt{377}}=\frac{4 \sqrt{377}}{377}.}\)