Tożsamości

aniluap · Post autor: **aniluap** » 18 sty 2009, o 13:19

Prosze was o pomoc w zrozumieniu tożsamości trygonometrycznych.
Jest 5 podstawowych twierdzeń:
\(\displaystyle{ sin^{2}x+cos^{2}x=1}\)

\(\displaystyle{ tgx= \frac{sinx}{cosx}}\)

\(\displaystyle{ ctgx=\frac{cosx}{sinx}}\)

\(\displaystyle{ ctgx=\frac{1}{tgx}}\)

\(\displaystyle{ tgx=\frac{1}{ctgx}}\)

... i np. w książce mam przykład: wykaż, że \(\displaystyle{ tg^{2}x+1=\frac{1}{cos^{2}x}}\)
rozwiązanie wygląda tak: \(\displaystyle{ tg^{2}x+1=\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}+1= \frac{sin^{2}x}{cos^{2}x} +\frac{cos^{2}x}{cos^{2}x}= \frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{cos^{2}x}=\frac{1}{cos^{2}x}}\)
I teraz dlaczego tego nie rozumiem:
\(\displaystyle{ tg^{2}x+1=\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}+1= \frac{sin^{2}x}{cos^{2}x} +(dlaczego 1 zamieniła sie na to \rightarrow )\frac{cos^{2}x}{cos^{2}x}= \frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{cos^{2}x}( \leftarrow jak to się skrocilo ze jest 1 ulemek?)=\frac{1}{cos^{2}x}}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 18 sty 2009, o 13:22

1 pytanie:
\(\displaystyle{ \frac{x}{x}=1}\)
x dowolne wyrazenie algebraiczne rozne od zera
2 pytanie:
w liczniku masz jedynke trygonometryczną. pierwszy Twoj wzor.

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 18 sty 2009, o 13:23

1 zamieniamy na \(\displaystyle{ \frac{cos^2x}{cos^2x}}\) bo mamy dodawanie,a żeby dodać dwa ułamki potrzeba wspólnego mianownika
\(\displaystyle{ \frac{sin^2x}{cos^2x}+\frac{cos^2x}{cos^2x}}\)
teraz masz już tu dodawanie ułamków o tym samym mianowniku, czyli dodajemy do siebie liczniki,a mianownik pozostaje ten sam ;
\(\displaystyle{ =\frac{sin^2x+cos^2x}{cos^2x}}\)
i w liczniku jedynka trygonometryczna jeszcze teraz jest co daje nam 1 w liczniku

aniluap · Post autor: **aniluap** » 18 sty 2009, o 13:28

aaha, dziękuje
A w jaki sposób obliczać np. wartości funkcji trygonometrycznych kąta 210

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 18 sty 2009, o 13:37

\(\displaystyle{ sin210=sin(180+30)=-sin30=-\frac{1}{2} \newline
cos210=cos(180+30)=-cos30=-\frac{\sqrt3}{2}\newline
tg210=tg(180+30)=tg30=\frac{\sqrt3}{3}\newline
ctg210=ctg(180+30)=ctg30=\sqrt3}\)

aniluap · Post autor: **aniluap** » 18 sty 2009, o 13:45

A dlaczego dzielisz 210 na 180+ 30 ,chodzi mi o to czy jest na to jakaś stała zasada, dlaczego nie 190+20?

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 18 sty 2009, o 13:49

tak jest to stała zasada
by zapisywać jako :
\(\displaystyle{ 90-\alpha \newline
90+\alpha \newline
180-\alpha \newline
180+\alpha\newline
270-\alpha\newline
270+\alpha \newline
360-\alpha}\)
bo jest taka tabelka która mówi ile wtedy to dokładnie wynosi
a tabelkę tą znajdziesz pod linkiem
i oczywiście alfa to ma być kąt którego funkcje trygonometryczne znasz

aniluap · Post autor: **aniluap** » 18 sty 2009, o 13:56

aha teraz rozumiem, a gdy zadanie gdzie mam obliczyć \(\displaystyle{ sin^{2}120 + cos^{2}150}\) to w jaki sposob to rozpisać

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 18 sty 2009, o 14:02

\(\displaystyle{ sin^2120+cos^2150=sin^2(90+30)+cos^2(180-30)=\newline
=[sin(90+30)]^2+[cos(180-30)]^2=
[cos30]^2+[-cos30]^2=\newline
=(\frac{\sqrt3}{2})^2+(-\frac{\sqrt3}{2})^2=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}=1,5}\)

aniluap · Post autor: **aniluap** » 18 sty 2009, o 14:06

a gdzy jest coś takiego \(\displaystyle{ \frac{cos120}{ sin^{2} 330} - \frac{tg150}{ctg120}}\)

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 18 sty 2009, o 14:10

\(\displaystyle{ \frac{cos120}{sin^2330}-\frac{tg150}{ctg120}=\newline
\frac{cos(90+30)}{[sin(360-30)]^2}-\frac{tg(180-30)}{ctg(90+30)}=\newline
\frac{-sin30}{[-sin30]^2}-\frac{-tg30}{-tg30}=\newline
\frac{-sin30}{sin^230}-\frac{-tg30}{-tg30}=\newline
\frac{-1}{sin30}-1=\frac{-1}{\frac{1}{2}}=-2-1=-3}\)

aniluap · Post autor: **aniluap** » 18 sty 2009, o 14:14

dziękuję

aniluap · Post autor: **aniluap** » 18 sty 2009, o 14:35

sea_of_tears pisze:\(\displaystyle{ \frac{cos120}{sin^2330}-\frac{tg150}{ctg120}=\newline
\frac{cos(90+30)}{[sin(360-30)]^2}-\frac{tg(180-30)}{ctg(90+30)}=\newline
\frac{-sin30}{[-sin30]^2}-\frac{-tg30}{-tg30}=\newline
\frac{-sin30}{sin^230}-\frac{-tg30}{-tg30}=\newline
\frac{-1}{sin30}-1=\frac{-1}{\frac{1}{2}}=-2-1=-3}\)

a teraz znowu nasunęła mi sie wątpliwość dlaczego cos zamienił się na sin a ctg na tg?

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 18 sty 2009, o 14:37

poszukaj pod linkiem który Ci wcześniej podałam tej tabelki o której mówiłam, to z niej wynika, że np cos(90+30)=-sin30 itd

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 18 sty 2009, o 14:41

dokłądnie o tą tabelkę mi chodzi