Podaj, dla jakich wartości parametru m równanie ma rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \sin2x= \frac{m-3}{m+2} ;m \cos x=3m-2}\)
Podaj, dla jakich wartości parametru m równanie ma rozwiązan
-
lukasz7_90
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 1 lis 2007, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podlesie Zachodnie
- Podziękował: 4 razy
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Podaj, dla jakich wartości parametru m równanie ma rozwiązan
\(\displaystyle{ \sin2x= \frac{m-3}{m+2}}\)
Ponieważ zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto\sin 2x}\) jest przedział \(\displaystyle{ [-1,1]}\), to równanie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ -1\leq\frac{m-3}{m+2}\leq 1}\). Stąd oczywiście \(\displaystyle{ m\neq -2}\) oraz \(\displaystyle{ -(m+2)^2\leq (m-3)(m+2)\leq(m+2)^2}\), czyli \(\displaystyle{ (m+2)(2m-1)\geq 0}\) oraz \(\displaystyle{ -5(m+2)\leq 0}\). Zatem \(\displaystyle{ m\geq\frac{1}{2}}\).
\(\displaystyle{ m\cos x=3m-2}\)
Łatwo zauważamy, że dla \(\displaystyle{ m=0}\) równanie jest sprzeczne. Załóżmy, że \(\displaystyle{ m\neq 0}\). Mamy \(\displaystyle{ \cos x=3-\frac{2}{m}}\). Ponieważ zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto\cos x}\) jest przedział \(\displaystyle{ [1,1]}\), to równanie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ -1\leq 3-\frac{2}{m}\leq 1}\), czyli \(\displaystyle{ -4\leq -\frac{2}{m}\leq -2}\). Stąd \(\displaystyle{ 1\leq\frac{1}{m}\leq 2}\). Ostatnia nierówność jest sprzeczna dla \(\displaystyle{ m<0}\), więc na pewno \(\displaystyle{ m>0}\). Wobec tego równoważnie mamy \(\displaystyle{ m\leq 1\leq 2m}\), skąd wynika, że \(\displaystyle{ m\leq 1}\) i \(\displaystyle{ m\geq\frac{1}{2}}\), tzn. \(\displaystyle{ m\in[\frac{1}{2},1]}\).
Ponieważ zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto\sin 2x}\) jest przedział \(\displaystyle{ [-1,1]}\), to równanie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ -1\leq\frac{m-3}{m+2}\leq 1}\). Stąd oczywiście \(\displaystyle{ m\neq -2}\) oraz \(\displaystyle{ -(m+2)^2\leq (m-3)(m+2)\leq(m+2)^2}\), czyli \(\displaystyle{ (m+2)(2m-1)\geq 0}\) oraz \(\displaystyle{ -5(m+2)\leq 0}\). Zatem \(\displaystyle{ m\geq\frac{1}{2}}\).
\(\displaystyle{ m\cos x=3m-2}\)
Łatwo zauważamy, że dla \(\displaystyle{ m=0}\) równanie jest sprzeczne. Załóżmy, że \(\displaystyle{ m\neq 0}\). Mamy \(\displaystyle{ \cos x=3-\frac{2}{m}}\). Ponieważ zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto\cos x}\) jest przedział \(\displaystyle{ [1,1]}\), to równanie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ -1\leq 3-\frac{2}{m}\leq 1}\), czyli \(\displaystyle{ -4\leq -\frac{2}{m}\leq -2}\). Stąd \(\displaystyle{ 1\leq\frac{1}{m}\leq 2}\). Ostatnia nierówność jest sprzeczna dla \(\displaystyle{ m<0}\), więc na pewno \(\displaystyle{ m>0}\). Wobec tego równoważnie mamy \(\displaystyle{ m\leq 1\leq 2m}\), skąd wynika, że \(\displaystyle{ m\leq 1}\) i \(\displaystyle{ m\geq\frac{1}{2}}\), tzn. \(\displaystyle{ m\in[\frac{1}{2},1]}\).
-
lukasz7_90
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 1 lis 2007, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podlesie Zachodnie
- Podziękował: 4 razy
Podaj, dla jakich wartości parametru m równanie ma rozwiązan
jakie wykonałeś przekształcenie,że wyszły Ci wyniki (m+2)(2m-1) > 0 oraz -5(m+2) <0 ??
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Podaj, dla jakich wartości parametru m równanie ma rozwiązan
Wystarczyło rozwiązać każdą z osobna z dwu nierówności występujących w nierówności podwójnej \(\displaystyle{ -(m+2)^2\leq (m-3)(m+2)\leq (m+2)^2}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ (m-3)(m+2)+(m+2)^2\geq 0}\) oraz \(\displaystyle{ (m-3)(m+2)-(m+2)^2\leq 0}\). Stąd \(\displaystyle{ (m+2)(m-3+m+2)\geq 0}\) oraz \(\displaystyle{ (m+2)(m-3-m-2)\leq 0}\), czyli \(\displaystyle{ (m+2)(2m-1)\geq 0}\) i \(\displaystyle{ -5(m+2)\leq 0}\).