Oblicz cosx wiedząc, że...
Oblicz cosx wiedząc, że...
Oblicz \(\displaystyle{ \cos x}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ \sin 2x=\frac {\sqrt{63}}{8}}\) , i \(\displaystyle{ x \in (\frac{5}{4}\pi ; \frac{3}{2}\pi)}\)
Oblicz cosx wiedząc, że...
Mógłbym prosić o odpowiedź? Niestety nie potrafię tego policzyć mimo podpowiedzi.
-
matshadow
- Użytkownik
- Posty: 941
- Rejestracja: 17 gru 2007, o 21:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kingdom Hearts
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 222 razy
Oblicz cosx wiedząc, że...
\(\displaystyle{ \sin^2 x +\cos^2 x=1\Rightarrow\sin^2 x=1-\cos^2 x}\)
\(\displaystyle{ 2\sin x\cos x=\frac{\sqrt{63}}{8}\\256\sin^2 x\cos^2 x=63\\cos^4 x-\cos^2 x+\frac{63}{256}=0}\)
Podstawiam za \(\displaystyle{ t=\cos^2 x}\)
\(\displaystyle{ t^2-t+\frac{63}{256}=0\\\Delta=1-4\frac{63}{256}=\frac{1}{64}}\)
\(\displaystyle{ t_1=\frac{1-\frac{1}{8}}{2}=\frac{7}{16}\\t_2= \frac{1+ \frac{1}{8} }{2}= \frac{9}{16}}\)
Teraz rozwiązujemy równania:
\(\displaystyle{ \cos^2 x=\frac{7}{16}\vee\cos^2 x=\frac{9}{16}\\\cos x=\frac{\sqrt{7}}{4}\vee\cos x=-\frac{\sqrt{7}}{4}\vee\cos x=\frac{3}{4}\vee\cos x=-\frac{3}{4}}\)
Jendocześnie uwzględniamy zakres \(\displaystyle{ x \in (\frac{5}{4}\pi ; \frac{3}{2}\pi)}\). Jest to III ćwiartka, czyli cosinus jest ujemny. Zostają więc dwie opcje:
\(\displaystyle{ \cos x=-\frac{\sqrt{7}}{4}\vee\cos x=-\frac{3}{4}}\)
Sprawdzamy wartość cosinusa dla granic zakresu.
\(\displaystyle{ cos(\frac{5}{4}\pi)\approx -0.707\\cos(\frac{3}{2}\pi)=0}\)
Cosinus maleje, czyli wartości między 0 a -0.707 są poprawne.
\(\displaystyle{ -\frac{3}{4}<-0.707}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ \cos x=-\frac{3}{4}}\) nie wchodzi w grę.
\(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{7}}{4}=-0.661}\), czyli mieści się w zakresie.
Odp: \(\displaystyle{ \cos x=-\frac{\sqrt{7}}{4}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin x\cos x=\frac{\sqrt{63}}{8}\\256\sin^2 x\cos^2 x=63\\cos^4 x-\cos^2 x+\frac{63}{256}=0}\)
Podstawiam za \(\displaystyle{ t=\cos^2 x}\)
\(\displaystyle{ t^2-t+\frac{63}{256}=0\\\Delta=1-4\frac{63}{256}=\frac{1}{64}}\)
\(\displaystyle{ t_1=\frac{1-\frac{1}{8}}{2}=\frac{7}{16}\\t_2= \frac{1+ \frac{1}{8} }{2}= \frac{9}{16}}\)
Teraz rozwiązujemy równania:
\(\displaystyle{ \cos^2 x=\frac{7}{16}\vee\cos^2 x=\frac{9}{16}\\\cos x=\frac{\sqrt{7}}{4}\vee\cos x=-\frac{\sqrt{7}}{4}\vee\cos x=\frac{3}{4}\vee\cos x=-\frac{3}{4}}\)
Jendocześnie uwzględniamy zakres \(\displaystyle{ x \in (\frac{5}{4}\pi ; \frac{3}{2}\pi)}\). Jest to III ćwiartka, czyli cosinus jest ujemny. Zostają więc dwie opcje:
\(\displaystyle{ \cos x=-\frac{\sqrt{7}}{4}\vee\cos x=-\frac{3}{4}}\)
Sprawdzamy wartość cosinusa dla granic zakresu.
\(\displaystyle{ cos(\frac{5}{4}\pi)\approx -0.707\\cos(\frac{3}{2}\pi)=0}\)
Cosinus maleje, czyli wartości między 0 a -0.707 są poprawne.
\(\displaystyle{ -\frac{3}{4}<-0.707}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ \cos x=-\frac{3}{4}}\) nie wchodzi w grę.
\(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{7}}{4}=-0.661}\), czyli mieści się w zakresie.
Odp: \(\displaystyle{ \cos x=-\frac{\sqrt{7}}{4}}\)
Ostatnio zmieniony 18 sty 2009, o 19:45 przez matshadow, łącznie zmieniany 1 raz.
-
abc666
Oblicz cosx wiedząc, że...
\(\displaystyle{ sin2x = \frac{ \sqrt{63} }{8} \\
sin^22x = \frac{63}{64} \\
sin^2x+cos^2x=1 \\
cos^22x= \frac{1}{64}\\
cos2x= \pm \frac{1}{8}\\
2x \in ( \frac{5}{2} \pi; 3 \pi) \\
cos2x = - \frac{1}{8} \\
2cos^2x-1=- \frac{1}{8} \\
cos^2x= \frac{7}{16}\\
cosx= \pm \frac{ \sqrt{7} }{4} \\
cosx= -\frac{ \sqrt{7} }{4}}\)
chyba się nie pomyliłem
sin^22x = \frac{63}{64} \\
sin^2x+cos^2x=1 \\
cos^22x= \frac{1}{64}\\
cos2x= \pm \frac{1}{8}\\
2x \in ( \frac{5}{2} \pi; 3 \pi) \\
cos2x = - \frac{1}{8} \\
2cos^2x-1=- \frac{1}{8} \\
cos^2x= \frac{7}{16}\\
cosx= \pm \frac{ \sqrt{7} }{4} \\
cosx= -\frac{ \sqrt{7} }{4}}\)
chyba się nie pomyliłem