Trudne (w mojej ocenie) równanie trygonometryczne

[Feliks1990]

Obliczyć sumę wszystkich tych pierwiastków równania
\(\displaystyle{ sin^{2}(x+ \frac{\pi}{3})+ cos^{2}(x- \frac{\pi}{3}) = \frac{7}{4}}\)
które należą do przedziału (-10;10).
Próbowałem to rozgryźć i ciągle próbuję, ale jeśli ktoś byłby w stanie udzielić jakiś wskazówek, albo pokazać sposób rozwiązania, byłbym ogromnie wdzięczny.
Pozdrawiam.
edit:// nie wiedziałem właśnie jak wstawia się pi, nie ma go w emotikonach. Już poprawione.

[piasek101]

Obliczyć sumę wszystkich tych pierwiastków równania
\(\displaystyle{ sin^{2}(x+ \frac{π}{3})+ cos^{2}(x- \frac{π}{3}) = \frac{7}{4}}\)
które należą do przedziału (-10;10).

Na razie to jest ono z ,,niewidzialnym" parametrem.

Ps. \(\displaystyle{ \pi}\)=pi

[Poodzian]

\(\displaystyle{ \sin^{2}(x+ \frac{\pi}{3})+ \cos^{2}(x- \frac{\pi}{3}) = \frac{7}{4}}\)
Warto skorzystać ze wzorów na sumę i różnicę kątów:

\(\displaystyle{ \sin (x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y}\)
\(\displaystyle{ \cos (x-y)=\cos x\cdot \cos y+\sin x\cdot \sin y}\)
Wówczas:

\(\displaystyle{ (\sin x \cdot \cos \frac{\pi}{3}+ \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{3})^2+(\cos x \cdot \cos \frac{\pi}{3}+ \sin x \cdot \sin \frac{\pi}{3})^2 = \frac{7}{4}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x+\frac{1}{2} \sin x)^2=\frac{7}{4}}\)

Po dość żmudnych, muszę przyznać, obliczeniach powinno dojść się do równania postaci:
\(\displaystyle{ \sin^2 x+\cos^2 x+\sqrt{3}\cos x \cdot \sin x=\frac{7}{4}}\)
Wiadomo, że \(\displaystyle{ \sin^2 x+\cos^2 x=1}\), więc:

\(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}\cos x \cdot \sin x=\frac{7}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \cos x \cdot \sin x=\frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ \cos x \cdot \sin x=\frac{\sqrt{3}}{4}}\)

I teraz taki myk:
Obustronnie mnożę razy \(\displaystyle{ 2}\)
\(\displaystyle{ 2\cos x \cdot \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Po czym korzystam ze wzoru na sinus podwojonego kąta, czyli \(\displaystyle{ \sin 2x=2\sin x \cdot \cos x}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

A tu już pewnie wiadomo co i jak

[Feliks1990]

zgadza się, mi wszystko też tak wyszło i doprowadziłem do postaci elementarnej. tylko jedno mnie zastanawia. treść zadania polega na obliczeniu sumy pierwiastków tego równania. Czy suma ta nie będzie równa 0? przecież będzie tyle samo pierwiastków po stronie ujemnej, jak i po dodatniej. czy może się mylę?

[jimarcin]

niestety nie x )

w przedziale \(\displaystyle{ (-10, 0)}\) funkcja ma 6 rozwiązań, a w przedziale \(\displaystyle{ (0, 10)}\) 7 rozwiązań ; )