najmnijesza i najwieksza wartosc funkcji

[kolega buahaha]

Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x)= sinx + cos2x}\)

[Kamilekzmc]

\(\displaystyle{ sinx+cos2x=sinx+cos^{2}x-sin^{2}x=sinx+1-sin^{2}-sin^{2}=-2sin^{2}x+sinx+1}\)
podstawiamy zmienną pomocniczą t:
\(\displaystyle{ -t^{2}+t+1=y}\) szukamy max i min funkcji dla przedziału \(\displaystyle{ <-1;1>}\) oczywiście musimy sprawdzić też wierzchołek!

[sea_of_tears]

\(\displaystyle{ f(x)=sinx+cos2x=sinx+1-2sin^2x\newline
f(x)=-2sin^2x+sinx+1\newline
sinx=t, t\in <-1,1>\newline
f(t)=-2t^2+t+1\newline
f(-1)=-2-1+1=-2\newline
f(1)=-2+1+1=0\newline
\frac{-b}{2a}=\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}\newline
f(\frac{1}{4})=-2\cdot \frac{1}{16}+\frac{1}{4}+1=\frac{9}{8}\newline
y_{min}=-2\newline
y_{max}=1\frac{1}{8}}\)