Wyznacz najmniejszą liczbę, która...

k10m · Post autor: **k10m** » 8 sty 2009, o 20:15

Mam takie zadanie:

Wyznacz najmniejszą dodatnią liczbę x spełniającą jednocześnie dwa warunki cos2x=-1, cos3x=0.

Proszę o pomoc, trygonometria to moja pięta Achillesa... a zwłaszcza funkcje kątów podwojonych i wyżej

chris139 · Post autor: **chris139** » 8 sty 2009, o 20:39

\(\displaystyle{ cos2x=-1 2x=\pi+2k\pi\\
cos3x=0 3x=\frac{\pi}{2}+\pi\\
\begin{cases}2x=\pi+2k\pi\\
3x=\frac{3}{2}\pi \end{cases}\\
x=\frac{1}{2}\pi-2k\pi}\)
A skoro chcemy najmniejszą liczbę dodatnią to k=0 a naszym wynikiem jest pi/2

JankoS · Post autor: **JankoS** » 9 sty 2009, o 13:05

chris139 pisze:\(\displaystyle{ cos2x=-1 2x=\pi+2k\pi\\
cos3x=0 3x=\frac{\pi}{2}+\pi\\
\begin{cases}2x=\pi+2k\pi\\
3x=\frac{3}{2}\pi \end{cases}\\
x=\frac{1}{2}\pi-2k\pi}\)
A skoro chcemy najmniejszą liczbę dodatnią to k=0 a naszym wynikiem jest pi/2

W powyższym prawdziwesą pierwszy i trzeci wiersz i ...(?) odpowiedź.

Swistak · Post autor: **Swistak** » 9 sty 2009, o 16:09

Dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}}\) mamy: \(\displaystyle{ 3x=\frac{\pi}{2} \cos3x=0}\).
Skoro \(\displaystyle{ \cos3x=0 3x=2k\pi \frac{\pi}{2} x=\frac{2k\pi}{3} \frac{\pi}{6}}\). Nie jestem pewien czy ostatnie przejście jest prawidłowe, ale tak na moje oko wygląda dobrze.