Iloczyn sinusów

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Iloczyn sinusów

Post autor: mol_ksiazkowy »

Wyznaczyć maksimum \(\displaystyle{ \sin(a_1)...\sin(a_n),}\) gdy \(\displaystyle{ \tg(a_1)...\tg(a_n) = 1.}\)
Ostatnio zmieniony 9 sie 2022, o 17:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Iloczyn sinusów

Post autor: Premislav »

Oczywiście \(\displaystyle{ a_i\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in \ZZ}\), a wówczas zachodzi tożsamość
\(\displaystyle{ |\sin a_i|=\frac{|\tg a_i|}{\sqrt{1+\tg^2a_i}}}\), co możnba bez trudu wykazać, korzystając z tożsamości \(\displaystyle{ 1+\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2x}}\). Mamy zatem:
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^n\sin a_i\le \left|\prod_{i=1}^n\sin a_i\right|=\prod_{i=1}^n|\sin a_i|\\=\prod_{i=1}^n\frac {|\tg a_i|}{\sqrt{1+\tg^2a_i}}=\frac{1}{\displaystyle{\prod_{i=1}^n\sqrt{1+\tg^2a_i}}}.}\)
Następnie korzystamy z dobrze znanej nieróności Huygensa (szczególny przypadek uogólnionego Hoeldera; można jej też dowieść, korzystając z wypukłości funkcji \(\displaystyle{ g(t)=\ln\left(1+e^t\right)}\)), mianowicie
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^n\sqrt{1+\tg^2a_i}=\sqrt{\prod_{i=1}^n(1+\tg^2a_i)}\ge \sqrt{\left(1+\left(\prod_{i=1}^n\tg^2 a_i\right)^{\frac 1 n}\right)^n}=2^{\frac n 2},}\) stąd też
\(\displaystyle{ \frac{1}{\displaystyle{\prod_{i=1}^n\sqrt{1+\tg^2a_i}}}\le \frac{1}{2^{\frac n 2}}.}\)
Równość zachodzi na przykład wtedy, gdy \(\displaystyle{ a_1=a_2=\ldots=a_n=\frac{\pi}{4}}\).
Ostatnio zmieniony 10 sie 2022, o 13:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ