sposób na wzory redukcyjne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 3 razy

sposób na wzory redukcyjne

Post autor: VanHezz » 21 lip 2021, o 19:16

Witam,

w podręczniku do matematyki przedstawiono sposób na łatwiejsze zapamiętanie wzorów redukcyjnych. Mianowicie, zakładając, że \(\displaystyle{ \alpha }\) jest kątem ostrym, sprawdza się, w której ćwiartce leży podany kąt i na tej podstawie określa znak wyrażenia po redukcji, i ewentualnie zmienia się funkcję na kofunkcję w odpowiednich sytuacjach, np. \(\displaystyle{ \sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ } - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} }\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha = 30^{\circ} }\)

Natomiast regułka ta dotyczy tylko sytuacji, gdy \(\displaystyle{ \alpha }\) jest kątem ostrym, a wzory redukcyjne mają ogólnie zastosowanie dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha }\). Czy istnieje jakiś ogólniejszy sposób na łatwe zapamiętanie wzorów redukcyjnych? Ogólnie wiem skąd się biorą i jak je wyprowadzić, ale to nie pomaga w szybkim liczeniu...
Ostatnio zmieniony 21 lip 2021, o 20:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3334
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1151 razy

Re: sposób na wzory redukcyjne

Post autor: Janusz Tracz » 21 lip 2021, o 19:51

Wystarczy zapamiętać (a jeszcze lepiej udowodnić i zrozumieć) tylko te wzory

\(\displaystyle{ \sin(x\pm y)=\sin x\cdot \cos y\pm \cos x\cdot \sin y}\)

\(\displaystyle{ \cos(x\pm y)=\cos x \cdot \cos y\mp \sin x \cdot \sin y}\)

oraz tabelkę z podstawowymi wartościami. To moim zdaniem znacznie lepiej działa o wyobrażania sobie przesuniętych wykresów, zapamiętywania wierszyków i zastanawiania się nad znakiem i kofunkcjami.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 28044
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4657 razy

Re: sposób na wzory redukcyjne

Post autor: Jan Kraszewski » 21 lip 2021, o 20:17

VanHezz pisze:
21 lip 2021, o 19:16
Natomiast regułka ta dotyczy tylko sytuacji, gdy \(\displaystyle{ \alpha }\) jest kątem ostrym, a wzory redukcyjne mają ogólnie zastosowanie dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha }\).
Regułka pomaga w wyznaczeniu wzorów redukcyjnych, które są prawdziwe dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha}\). To założenie, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym jest tylko pomocnicze (inna sprawa, że to pomocnicze założenie jest wystarczająco ogólne, bo każdą sytuację, w której wykorzystujemy wzór redukcyjny można sprowadzić do takiej, w której \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym).

JK

VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 3 razy

Re: sposób na wzory redukcyjne

Post autor: VanHezz » 21 lip 2021, o 21:47

Regułka pomaga w wyznaczeniu wzorów redukcyjnych, które są prawdziwe dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha}\). To założenie, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym jest tylko pomocnicze (inna sprawa, że to pomocnicze założenie jest wystarczająco ogólne, bo każdą sytuację, w której wykorzystujemy wzór redukcyjny można sprowadzić do takiej, w której \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym).
Na pewno działa to dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\) ?
Mamy wzór redukcyjny \(\displaystyle{ \cos( 180^{\circ}-\alpha) = -\cos \alpha}\)

Ale weźmy \(\displaystyle{ \cos( 180^{\circ}-120^{\circ})}\). Wartość tego cosinusa jest dodatnia (pierwsza ćwiartka) więc po zredukowaniu powinno być \(\displaystyle{ (+)\cos 120^{\circ}}\), a zgodnie ze wzorem powinno być \(\displaystyle{ (-)\cos 120^{\circ} }\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 28044
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4657 razy

Re: sposób na wzory redukcyjne

Post autor: Jan Kraszewski » 21 lip 2021, o 21:58

VanHezz pisze:
21 lip 2021, o 21:47
Na pewno działa to dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\) ?
Na pewno.
VanHezz pisze:
21 lip 2021, o 21:47
Ale weźmy \(\displaystyle{ \cos( 180^{\circ}-120^{\circ})}\). Wartość tego cosinusa jest dodatnia (pierwsza ćwiartka) więc po zredukowaniu powinno być \(\displaystyle{ (+)\cos 120^{\circ}}\),
A skąd ten dziwny wniosek? Przecież \(\displaystyle{ (+)\cos 120^{\circ}}\) jest liczbą ujemną.
VanHezz pisze:
21 lip 2021, o 21:47
a zgodnie ze wzorem powinno być \(\displaystyle{ (-)\cos 120^{\circ} }\)
Nie zrozumiałeś mojej uwagi.

Masz wzór redukcyjny \(\displaystyle{ \cos( 180^{\circ}-\alpha) = -\cos \alpha}\) i jest on prawdziwy dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha}\), więc \(\displaystyle{ \cos( 180^{\circ}-120^{\circ})=-\cos 120^{\circ}}\). Natomiast to odwołanie się do kąta ostrego i ćwiartek jest wygodną metodą pomagającą ten (ogólny) wzór zapamiętać/wyprowadzić.

JK

VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 3 razy

Re: sposób na wzory redukcyjne

Post autor: VanHezz » 21 lip 2021, o 22:59

Jan Kraszewski pisze:
21 lip 2021, o 21:58
A skąd ten dziwny wniosek? Przecież \(\displaystyle{ (+)\cos 120^{\circ}}\) jest liczbą ujemną.

Nie mowie, że nie jest liczbą ujemną. Podążam jedynie za wskazówkami tej regułki. Nie chodzi w niej o to czy \(\displaystyle{ \cos 120^{\circ} }\) jest liczbą ujemną, ale czy całe \(\displaystyle{ \cos (180^{\circ} - 120^{\circ} )}\) jest dodatnie czy ujemne. Dla tego kąta \(\displaystyle{ ( 60^{\circ})}\) cosinus jest dodatni, więc zgodnie z regułką dajemy plus po znaku równości i przepisujemy kąt \(\displaystyle{ \alpha }\) czyli w tym przypadku \(\displaystyle{ 120^{\circ} }\), więc wynik powinien być \(\displaystyle{ =\cos 120^{\circ}}\). Z tym że w tym przypadku prowadzi to do błędu, więc myślę, że założenie w tej ułatwieniowej regułce jest słuszne, że \(\displaystyle{ \alpha }\) musi być kątem ostrym.

Np. \(\displaystyle{ \tg 220^{\circ} = \tg (180^{\circ} + 40^{\circ}) = \tg 40^{\circ} }\). Tu dajemy plus po znaku równości bo dla kąta \(\displaystyle{ 220^{\circ} }\) tangens jest dodatni.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 28044
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4657 razy

Re: sposób na wzory redukcyjne

Post autor: Jan Kraszewski » 22 lip 2021, o 01:19

VanHezz pisze:
21 lip 2021, o 22:59
Nie mowie, że nie jest liczbą ujemną. Podążam jedynie za wskazówkami tej regułki. Nie chodzi w niej o to czy \(\displaystyle{ \cos 120^{\circ} }\) jest liczbą ujemną, ale czy całe \(\displaystyle{ \cos (180^{\circ} - 120^{\circ} )}\) jest dodatnie czy ujemne. Dla tego kąta \(\displaystyle{ ( 60^{\circ})}\) cosinus jest dodatni, więc zgodnie z regułką dajemy plus po znaku równości i przepisujemy kąt \(\displaystyle{ \alpha }\) czyli w tym przypadku \(\displaystyle{ 120^{\circ} }\), więc wynik powinien być \(\displaystyle{ =\cos 120^{\circ}}\). Z tym że w tym przypadku prowadzi to do błędu, więc myślę, że założenie w tej ułatwieniowej regułce jest słuszne, że \(\displaystyle{ \alpha }\) musi być kątem ostrym.
Powtarzam: mylisz regułkę ze wzorem redukcyjnym. Jeżeli chcesz wyznaczyć \(\displaystyle{ \cos (180^{\circ} - 120^{\circ} )}\), to nie stosujesz regułki, tylko wzór redukcyjny. Regułka służy do pamiętania wzoru redukcyjnego, a nie do stosowania dla dowolnych kątów \(\displaystyle{ \alpha}\).

JK

VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 3 razy

Re: sposób na wzory redukcyjne

Post autor: VanHezz » 22 lip 2021, o 08:03

Rozumiem. Zmyliłem się na początku, bo myślałem że mówisz, że ta regułka działa dla dowolnego alfa, a miałeś na myśli, że wzory redukcyjne działają dla dowolnego alfa. Teraz widzę faktycznie, że można łatwo wyprowadzić sobie wzór redukcyjny dla dowolnego alfa znając tę regułkę dla kąta ostrego.

ODPOWIEDZ