Funkcje okresowe udowodnij że

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 986
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 192 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Funkcje okresowe udowodnij że

Post autor: Niepokonana » 29 lip 2020, o 00:35

a4karo pisze:
28 lip 2020, o 08:47
Niepokonana pisze:
27 lip 2020, o 22:31
a4karo pisze:
27 lip 2020, o 10:17
Skoro sinusy i cosinusy nie mogą istnieć bez argumentów, to co jest podmiotem w Twoim zdaniu?
Podam Ci jeszcze przykład, kiedy użycie argumentu jest wręcz nieprawidłowe. Popatrz na taki tekst

Niech `x=\pi/6` i `y=\pi/3`. Ponieważ funkcja `\sin x` jest rosnąca w przedziale `(0,\pi/2)`, zachodzi `1/2=\sin (\pi/6)<\sqrt{3}/2=\sin (\pi/3).`

I na taki

Niech `x=\pi/6` i `y=\pi/3`. Ponieważ funkcja sinus jest rosnąca w przedziale `(0,\pi/2)`, zachodzi `1/2=\sin (\pi/6)<\sqrt{3}/2=\sin (\pi/3).`

Poprawny jest drugi zapis, bo `sin x` jest liczbą (równą `1/2`), bo `x=\pi/6`.

Generalnie `f(x)` oznacza wartość funkcji dla argumentu `x`, natomiast `f` jest jej nazwą. Na ogól jednak czytelnik poradzi sobie z kontekstem.

Natomiast zgadzam się, że np. tu: "Oblicz wartość wyrażenia `4+\sin-\ln` argumenty funkcji są konieczne.
Pan mnie sprawdza, czy ja nie umiem czytać? Z tego, co zrozumiałam, to Pan podał dwa takie same przykłady, a tylko jeden z nich Pan opisał jako prawidłowy.
Jak są takie same, to nie może być tak, że jeden jest prawdziwy, a drugi nie. Nieprawda? Niestety, nie wyciągnęłaś z tego żadnych wniosków. A przecież `\sin x=1/2` i pierwsze zdanie można by napisać tak

Niech `x=\pi/6` i `y=\pi/3`. Ponieważ funkcja `1/2` jest rosnąca w przedziale `(0,\pi/2)`, zachodzi `1/2=\sin (\pi/6)<\sqrt{3}/2=\sin (\pi/3).`

Ma to sens?
Wyciągnęłam taki wniosek, iż Pan się pomylił i mi dwa razy napisał to samo.
A dlaczego ma nie zachodzić? Chociaż według mnie ta funkcja jest stała. Zastanawiam się, co ma Pan na myśli. Dużo znaczków, ale przecież faktycznie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}< \frac{ \sqrt{3} }{2} }\). Aaa że niepotrzebne są te iksy i igreki. Faktycznie w tym przykładzie są niepotrzebne. Niepotrzebnie to komplikuje sprawę.

a4karo pisze:
27 lip 2020, o 10:17

Po raz kolejny potwierdzasz, że nie zwracasz uwagi na założenia. A w założeniach jest napisane, że okresy obu funkcji są liczbami naturalnymi. I nie ma sensu pisać o tym w dowodzie.
Niepokonana pisze: No mówię Panu, że ja nie kontaktuję i do mnie trzeba powoli. To przejdźmy w końcu do dowodu. Jak to uzasadnić, że będą okresowe? Wiem, na tym etapie to głupie pytanie. Może tak jak z definicji? Że \(\displaystyle{ f(x)=f(x+a)}\)? Myślę, że w ten sposób by się dało. Tylko trzeba wyrzucić funkcje typu \(\displaystyle{ \sin ^{2} \pi x}\) i \(\displaystyle{ \cos ^{2} \pi x}\).

Dodano po 13 minutach 8 sekundach:
Myślę, jak to wykazać... Najprościej pewnie będzie udowadniać nie wprost i doprowadzić do sprzeczności. Tylko jak?
Załóżmy, że mamy funkcje \(\displaystyle{ f(x)}\) o okresie \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\) o okresie \(\displaystyle{ c}\), gdzie \(\displaystyle{ b,c \in \mathbb N}\). Teza jest taka, że nie istnieje takie \(\displaystyle{ d \in \mathbb N}\), dla którego zachodzi \(\displaystyle{ f(x)+g(x)=h(x)=h(x+d)}\). Tylko co dalej. To faktycznie nie jest proste.
a4karo pisze: O jej. Napisał Ci już Premislav jak znaleźć ten okres, ja napisałem jak zabrać się za dowód, a panna siedzi w kącie i czeka żeby ją popchnąć do innego kąta?

Udowodnij taki fakt (trywialny): jeżeli `a` jest okresem funkcji `f`, to dla każdego naturalnego `k` liczba `ka` też jest okresem `f` (zauważyłaś, że nie używam w tym zdaniu `f(x)`? Pisze o funkcji, która się nazywa `f` i używam jej nazwy)

A jak jjuż to zrobisz, to pokaż, że (wracamy teraz do treści zadania) jeżeli `y` jest wspólną wielokrotnością `x_` i `x_2` (czyli jeżli istnieją `k,l\in\NN` takie, że `y=kx_1=lx_2`, to `y` jest okresem funkcji `h=f+ag`.
Wsk (już była, ale co tam) `h(x+y)=f(x+y)+ag(x+y)=f(x+kx_1)+ag(x+lx_2)=...`
Muszę zgadywać, o co Panu chodzi. W sensie ja mam udowodnić, że taka suma funkcji jest okresowa poprzez znalezienie jej okresu? No tak wprost wynika z Pana wypowiedzi.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18358
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3097 razy

Re: Funkcje okresowe udowodnij że

Post autor: a4karo » 29 lip 2020, o 06:39

Muszę zgadywać, o co Panu chodzi. W sensie ja mam udowodnić, że taka suma funkcji jest okresowa poprzez znalezienie jej okresu? No tak wprost wynika z Pana wypowiedzi
Dziwi Cię to? Podobno nie chcesz gotowca. Zrób zatem porządny dowód korzystając ze wskazówek, które dostałaś.

=====================================================================================================

Gruba kreska: zapomnij o wszystkim co było w tym wątku i zacznij od tego:
Zadanie:
Niepokonana pisze:
24 lip 2020, o 00:45
Dzień dobry

Proszę o pomoc z prostym zadaniem. Ja rozumiem, dlaczego tak jest, ale nie umiem tego ładnie napisać słowami.

Dane są funkcje okresowe \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\), każda ma swój własny okres podstawowy będący liczbą naturalną, mogą mieć takie same okresy, ale nie muszą. Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ h(x)=f(x)+ ag(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ a\in \mathbb R \setminus \{0\}}\) też jest okresowa i oblicz jej okres podstawowy.
Jak to zapisać? Dodanie parametru \(\displaystyle{ a}\) nie zmienia okresowości funkcji. Domyślam się, że napisanie "suma funkcji okresowych jest funkcją okresową" nie wystarczy.
Wskazówka:
Udowodnij taki fakt (trywialny): jeżeli `a` jest okresem funkcji `f`, to dla każdego naturalnego `k` liczba `ka` też jest okresem `f`

A jak już to zrobisz, to pokaż, że (wracamy teraz do treści zadania) jeżeli `y` jest wspólną wielokrotnością `x_` i `x_2` (czyli jeżli istnieją `k,l\in\NN` takie, że `y=kx_1=lx_2`, to `y` jest okresem funkcji `h=f+ag`.
Wsk (już była, ale co tam) `h(x+y)=f(x+y)+ag(x+y)=f(x+kx_1)+ag(x+lx_2)=...`

Wniosek: Jeżeli `y=NWW(x_1,x_2)`, to jest `y` okresem okresem funkcji `h`.


=================================================================================================================
Całą reszta wątku była o tym, że znalezienie okresu podstawowego funkcji `h` wcale nie jest takim łatwym zadaniem - nie musi nim być `NWW(x_1,x_2)` - co pokazałem na kilku przykładach, oraz o tym, że pierwsze stwierdzenie z ostatniej linijki zadania nie jest prawdziwe, zaś drugie jest - na co pokazano przykłady.

Dodano po 2 dniach 3 godzinach 41 minutach 24 sekundach:
Żeby nie było wątpliwości:
Prawdziwe jest stwierdzenie: Domyślam się, że napisanie "suma funkcji okresowych jest funkcją okresową" nie wystarczy.
Natomiast nieprawdziwe jest stwiedzenie "suma funkcji okresowych jest funkcją okresową"

Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 986
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 192 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Funkcje okresowe udowodnij że

Post autor: Niepokonana » 1 sie 2020, o 02:06

Slup miał rację, jak stwierdził, że przez moją nieznajomość tytułów nie będę miała życia. Trzeba będzie studiować filologię języka angielskiego.

Ok zacznijmy od tego jakże trywialnego faktu, potem reszta. Ale niech \(\displaystyle{ k\in \mathbb Z}\), bo przecież to działa w obie strony.
Więc mamy funkcję okresową \(\displaystyle{ f}\) o okresie podstawowym \(\displaystyle{ a \in \mathbb N}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ f(x)=f(x+a)}\). Z definicji funkcji okresowej wiemy, że każda całkowita wielokrotność okresu podstawowego jest okresem funkcji okresowej. Czyli dla każdego \(\displaystyle{ x}\) należącego do dziedziny zachodzi \(\displaystyle{ f(x)=f(x+a)=f(x+ka)}\). Nie wiem, czy dobrze to mówię - ta zależność zachodzi, bo \(\displaystyle{ ka}\) też jest okresem funkcji. \(\displaystyle{ k}\) może być jak najbardziej ujemne, wtedy po prostu funkcja będzie miała argument bardziej na lewo. Nie wiem, czy napisałam to zrozumiale, ale może tak.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18358
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3097 razy

Re: Funkcje okresowe udowodnij że

Post autor: a4karo » 1 sie 2020, o 06:43

Niestety, zawiodłaś mnie. Wychodzi na to, że nie rozróżniasz co jest definicją, a co faktem, który trzeba udowodnić.

Definicja: Niech \(\displaystyle{ {D\subset \mathbb {R} } }\) oraz niech \(\displaystyle{ { f\colon D\to \mathbb {R} }}\) będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze \(\displaystyle{ D}\). Okresem funkcji \(\displaystyle{ f }\) nazywamy dowolną liczbę \(\displaystyle{ a}\) różną od zera o następujących własnościach:
  1. dla dowolnej liczby `x\in D` zachodzi `x+a\in D` i `x-a\in D`
  • dla każdego `x\in D` zachodzi równość `f(x+a)=f(x)`


To jest koniec definicji. Nie ma tu ani słowa o tym, że `a` jest liczbą naturalną, i ani słowa o okresie podstawowym.

Twierdzenie: Jeżeli `a` jest okresem funkcji `f`, to dla każdego naturalnego `k` liczba `ka` też jest okresem `f`.

To masz udowodnić, więc nie możesz się na ten fakt powoływać pisząc, że wynika on z definicji, Ponadto w dowodzie piszesz o okresie podstawowym, a przecież funkcja okresowa okresu podstawowego nie musi mieć..

Czekam na dowód - indukcja matematyczna może się przydać.


PS możesz coś więcej napisać na temat "przez moją nieznajomość tytułów nie będę miała życia"?

Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 986
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 192 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Funkcje okresowe udowodnij że

Post autor: Niepokonana » 3 sie 2020, o 01:08

Ale Pan już nie myśli, że ja chcę gotowiec. To jest już postęp!

Nasze \(\displaystyle{ a}\) jest naturalne i jest okresem podstawowym, bo tak mamy w zadaniu i już.
Ok, czyli mam udowodnić, że \(\displaystyle{ ka}\) to też jest okres dla \(\displaystyle{ k\in \mathbb N }\). Skoro indukcja to niech będzie tylko naturalne, chociaż wie Pan, ja dopiero dzisiaj przeczytałam, co to jest ta indukcja i ja jej za bardzo na razie nie ufam.
No dobrze. Udowodnijmy, że skoro dla \(\displaystyle{ k_{0}}\) ta właściwość zachodzi, to dla wyższych \(\displaystyle{ k}\) też zachodzi. \(\displaystyle{ k_{0}=1}\). Wtedy dla \(\displaystyle{ k_{0}}\) zachodzi z definicji bo w takim przypadku \(\displaystyle{ ka=a}\). I teraz mam problem, bo jakie równanie/nierówność udowadniam? Że \(\displaystyle{ f(x)=f(x+ka)}\)? Panie a4karo, ja "rano" dokończę, bo teraz jest pierwsza w nocy i po prostu piszę, żeby Pan nie myślał, że ja Pana ignoruję.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18358
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3097 razy

Re: Funkcje okresowe udowodnij że

Post autor: a4karo » 3 sie 2020, o 10:43

Dobra, daj sobie spokój z indukcją, skoro jeszcze jej nie przerabiałaś. Załóż , że masz to. Udowodnij teraz drugą część.







Żebym był na Ciebie zły, to musiałabyś coś w moim życiu znaczyć. Ale jesteś tylko przechodniem. Do tego niezrównoważonym. Z jednej strony wdajesz się w dyskusje na poważne tematy a z drugiej strony zachowujesz się jak rozkapryszona małolata ("Ludzie to idioci")

Na dodatek jesteś przekonana , że Twoja Pani of matematyki się na Ciebie uwzięła, ale prawdą jest że nie wykazujesz inicjatywy - zamiast myśleć samodzielnie i wyciągać wnioski odpowiadasz na zadane pytania i pytasz "co dalej?"

Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: województwo śląskie
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 13 razy

Re: Funkcje okresowe udowodnij że

Post autor: Thingoln » 3 sie 2020, o 19:55

Spróbuj pomyśleć o tym na takim przykładzie. Mamy człowieka, który co cztery dni chodzi do sklepu po ziemniaki. Czy można powiedzieć, że jest w sklepie co osiem, dwanaście, czy sto dwadzieścia dni? Bardzo pomocna jest też definicja, którą napisał wyżej a4karo; jeśli te warunki są spełnione dla jakiejś funkcji, to jest okresowa. Spróbuj chwilę się nad tym zastanowić. :)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18358
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3097 razy

Re: Funkcje okresowe udowodnij że

Post autor: a4karo » 3 sie 2020, o 20:08

Thingoln pisze:
3 sie 2020, o 19:55
Spróbuj pomyśleć o tym na takim przykładzie. Mamy człowieka, który co cztery dni chodzi do sklepu po ziemniaki. Czy można powiedzieć, że jest w sklepie co osiem, dwanaście, czy sto dwadzieścia dni?
Nie, bo są niehandlowe niedziele :P

Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 986
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 192 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Funkcje okresowe udowodnij że

Post autor: Niepokonana » 6 sie 2020, o 00:20

Pan myśli, że mi się nie chce, a ja szczerze nie umiem. Nie wiem, jak wykazać, że \(\displaystyle{ f(x)=f(x+1a)=f(x+(1+1)a)}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26567
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4445 razy

Re: Funkcje okresowe udowodnij że

Post autor: Jan Kraszewski » 6 sie 2020, o 03:28

Niepokonana pisze:
6 sie 2020, o 00:20
Nie wiem, jak wykazać, że \(\displaystyle{ f(x)=f(x+1a)=f(x+(1+1)a)}\)
Serio? To chyba naprawdę nie rozumiesz tej okresowości...

\(\displaystyle{ f(x+2a)=f((x+a)+a)=f(x+a)=f(x).}\)

JK

Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 986
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 192 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Funkcje okresowe udowodnij że

Post autor: Niepokonana » 6 sie 2020, o 12:30

Jan Kraszewski pisze:
6 sie 2020, o 03:28
Serio? To chyba naprawdę nie rozumiesz tej okresowości...
Nie. Chodzi o to, że nie umiem czytać panu a4karo w myślach i nie wiem, co ode mnie oczekuje. Już pisałam o tym parę postów wcześniej.
Jan Kraszewski pisze:
6 sie 2020, o 03:28
\(\displaystyle{ f(x+2a)=f((x+a)+a)=f(x+a)=f(x).}\)
Najśmieszniejsze jest to, że zauważyłam to zaraz, jak wstałam. XD Czasami trzeba zadanie przespać.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18358
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3097 razy

Re: Funkcje okresowe udowodnij że

Post autor: a4karo » 6 sie 2020, o 12:51

Wskazówka nie polega na tym, że napisze sie wszystko.

Trzy razy pisałem trzy kropeczki na końcu pewnego wzorku, ale wygląda na to, że nie masz pojęcia jak to skończyć. A to znaczy, że nie wiesz do czego masz dążyć, czy i nie wiesz na czym polega okresowość funkcji.

Podpowiem: chcesz pokazać (to znaczy ja chcę, żebyś to pokazała), że dowolna wspólna wielokrotność okresów funkcji `f` i `g` jest okresem funkcji `h`.


Swoją drogą arcyciekawi mnie na jakiej podstawie napisałaś
Z definicji funkcji okresowej wiemy, że każda całkowita wielokrotność okresu podstawowego jest okresem funkcji okresowej.
skoro nie wiesz jak to pokazać dla dwukrotności okresu.

Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 986
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 192 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Funkcje okresowe udowodnij że

Post autor: Niepokonana » 6 sie 2020, o 21:17

Nie. Ja się nie migam od pracy, ja się staram. Nie mam pojęcia, co Pan do mnie mówi. Pańska postawa nie robi na mnie żadnego wrażenia. Szkoda, że Pan ma już takie doświadczenie, a nie rozumie Pan, że taka postawa względem uczniów nie działa. Oczekuję, że Pan w końcu przestanie.
To co, kontynuujemy, czy Pan ma dosyć? Wpadłam na ten pomysł z dowodem indukcyjnym o jakieś 3-4 dni za późno, ale rozumiem go. To co dalej?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18358
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3097 razy

Re: Funkcje okresowe udowodnij że

Post autor: a4karo » 6 sie 2020, o 21:24

A co chcesz udowodnić?

Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 986
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 192 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Funkcje okresowe udowodnij że

Post autor: Niepokonana » 7 sie 2020, o 00:08

Tak jak w zadaniu, że dla dwóch funkcji okresowych o okresach naturalnych ich suma jest funkcją okresową o okresie będącym najmniejszą wspólną wielokrotnością okresów tych dwóch funkcji. Oczywiście nie tyczy się to wszystkich funkcji, co już ustaliliśmy.
Czyli to po prostu można udowodnić indukcją matematyczną?

ODPOWIEDZ