Równania trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 832
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 156 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Niepokonana » 23 mar 2020, o 20:04

Ma Pan rację, ale ja te zadania muszę umieć.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 708
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 156 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: kmarciniak1 » 23 mar 2020, o 20:13

Niepokonana pisze:
23 mar 2020, o 20:04
Ma Pan rację, ale ja te zadania muszę umieć.
No to z czasem się nauczysz. Oceny które dostajesz są kompletnie nieistotne.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 832
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 156 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Niepokonana » 23 mar 2020, o 20:29

Ale wszyscy/prawie wszyscy w klasie już to rozumieją i ja jestem ostatnia.

Dodano po 3 minutach 56 sekundach:
Ja nie chcę być najgorsza.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26206
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4380 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Jan Kraszewski » 23 mar 2020, o 23:17

Walcz, walcz. I staraj się zrozumieć, co robisz - także tutaj nie ma drogi na skróty (nie ulegaj tej pokusie).

JK

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 832
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 156 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Niepokonana » 23 mar 2020, o 23:52

Ale inni umieją, więc to musi być proste, więc jak to się robi, Panie doktorze? Oczywiście moja "nauczycielka" nie chce mi tego powiedzieć.

\(\displaystyle{ \sin^{2} 2x +6\sin ^{2}x =6}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2} 2x=6(1-\sin ^{2}x)}\)
\(\displaystyle{ 4\sin ^{2}x\cos ^{2}x =6\cos ^{2} x}\)
No i zrobiłam błąd, znowu. A ja to miałam umieć na dzisiaj. ;-;

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26206
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4380 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Jan Kraszewski » 24 mar 2020, o 00:59

Na razie nie ma błędu, dobrze robisz. Przenieś wszystko na jedną stronę, wyłącz \(\displaystyle{ 2\cos^2x}\) przed nawias, dostaniesz dwa przypadki. Co niby jest niedobrze?

JK

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 832
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 156 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Niepokonana » 24 mar 2020, o 14:39

To to się nie skróci?
A, jak na dwa przypadki to to umiem.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26206
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4380 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Jan Kraszewski » 24 mar 2020, o 16:04

Niepokonana pisze:
24 mar 2020, o 14:39
To to się nie skróci?
Pamiętaj, nie wolno skracać przez wyrażenie, które może być zerem.

JK

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 832
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 156 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Niepokonana » 24 mar 2020, o 22:26

Jan Kraszewski pisze:
24 mar 2020, o 16:04
Niepokonana pisze:
24 mar 2020, o 14:39
To to się nie skróci?
Pamiętaj, nie wolno skracać przez wyrażenie, które może być zerem.

JK
Pan doktor ma rację.
A jak rozwiązać takie coś? \(\displaystyle{ \frac{1+\tg x}{1-\tg x}=1+\sin 2x }\)
Napisałam dziedzinę i po paru przekształceniach doszłam do takiej postaci. \(\displaystyle{ \frac{\cos x +\sin x}{\cos x-\sin x} =1+\sin 2x}\) Nie wiem, co z tym dalej zrobić.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14658
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 4823 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Premislav » 24 mar 2020, o 22:37

Dziedzina: \(\displaystyle{ x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \ x\neq\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in\ZZ}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ 1+\sin 2x=\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x=(\sin x+\cos x)^{2}}\)
Rozważmy dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ \sin x+\cos x=0}\), to raczej umiesz rozwiązać;
2) \(\displaystyle{ \sin x+\cos x\neq 0}\), wtedy możesz podzielić stronami przez to wyrażenie i zostaje:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos x-\sin x}=\sin x+\cos x}\)
Mnożysz przez mianownik, zauważasz wzór na kosinus podwojonego kąta i zrobione.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17732
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2992 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: a4karo » 24 mar 2020, o 23:51

Ja to wszystko na pałę wymnozylem i wyszło

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 832
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 156 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Niepokonana » 25 mar 2020, o 00:48

Też na początku o tym myślałam, ale to zbytnio skomplikowałoby sprawę.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17732
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2992 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: a4karo » 25 mar 2020, o 06:02

Zauważyłem, że jak w równaniu pojawiają się ze cztery składniki, to zaczynasz się tego równania bać. Niesłusznie.
Zauważmy najpierw trzy rzeczy:
\(\displaystyle{ \cos x\neq 0}\) (to z powody tangensa)
Jeżeli \(\displaystyle{ \sin x= 0}\) to \(x=k\pi\) jest rozwiązaniem równania
\(\displaystyle{ \sin x\neq \cos x}\) (to z powodu, że tangens jest różny od jedynki).

Zatem możemy założyć, że \(x\neq k\pi\) i dzielić i mnożyć bez obawy przez \(\sin x,\ \cos x\) i \(1-\tan x\)
\begin{align}
1+\tan x&=1-\tan x +(1-\tan x)\sin 2x\\
2\tan x&=\frac{2\sin x\cos x(\cos x-\sin x)}{\cos x}\\
\frac{2\sin x}{\cos x}&=\frac{2\sin x\cos x(\cos x-\sin x)}{\cos x}\\
1&=\cos x(\cos x-\sin x)\\
\cos^2x+\sin ^2x&=\cos^2x-\sin x\cos x\\
\sin x(\sin x+\cos x)&=0\\
\left(\sin x+\sin\left(\pi/2-x\right)\right)&=0
\end{align}
Teraz wzór na sumę sinusów i juź.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 832
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 156 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Niepokonana » 25 mar 2020, o 08:20

No dobrze, dziękuję, ma Pan rację, ale sposób Premislava jest krótszy.
To jeszcze nie koniec.

ODPOWIEDZ