Nierówność z modułem funkcji trygonometrycznych

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Leoneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy

Nierówność z modułem funkcji trygonometrycznych

Post autor: Leoneq »

Mam takie zadanie:

Udowodnij, że dla każdych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y \in \left( - \frac{ \pi }{2}, \frac{\pi}{2} \right) }\) zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ \left| \tg(x) - \tg(y)\right| \ge \left| x-y\right| }\)

I nie za bardzo wiem, gdzie nawet zacząć rozwiązywać te zadanie.
Ostatnio zmieniony 16 sty 2020, o 21:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Nierówność z modułem funkcji trygonometrycznych

Post autor: Janusz Tracz »

Bez straty ogólności można przyjąć, że \(\displaystyle{ x>y}\) więc \(\displaystyle{ \tg x>\tg y}\). Następnie zauważmy, że z tw. Lagrange’a wynika, że dla każdego \(\displaystyle{ x,y}\) znajdzie się \(\displaystyle{ \xi}\) takie, że

\(\displaystyle{ \frac{\tg x-\tg y}{x-y} = \frac{1}{\cos^2\xi} }\)

Zastanów się jak stąd dostać tezę.
ODPOWIEDZ