Mam takie zadanie:
Udowodnij, że dla każdych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y \in \left( - \frac{ \pi }{2}, \frac{\pi}{2} \right) }\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left| \tg(x) - \tg(y)\right| \ge \left| x-y\right| }\)
I nie za bardzo wiem, gdzie nawet zacząć rozwiązywać te zadanie.
Nierówność z modułem funkcji trygonometrycznych
- Leoneq
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 15 razy
Nierówność z modułem funkcji trygonometrycznych
Ostatnio zmieniony 16 sty 2020, o 21:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Nierówność z modułem funkcji trygonometrycznych
Bez straty ogólności można przyjąć, że \(\displaystyle{ x>y}\) więc \(\displaystyle{ \tg x>\tg y}\). Następnie zauważmy, że z tw. Lagrange’a wynika, że dla każdego \(\displaystyle{ x,y}\) znajdzie się \(\displaystyle{ \xi}\) takie, że
\(\displaystyle{ \frac{\tg x-\tg y}{x-y} = \frac{1}{\cos^2\xi} }\)
Zastanów się jak stąd dostać tezę.
\(\displaystyle{ \frac{\tg x-\tg y}{x-y} = \frac{1}{\cos^2\xi} }\)
Zastanów się jak stąd dostać tezę.