Suma arcusów

[mol_ksiazkowy]

Obliczyć \(\displaystyle{ \arctg(a) + \arctg(b) + \arctg(c)}\) gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x(x-2)(3x-7)=2}\).

[Premislav]

Ze wzorów Viete'a mamy
\(\displaystyle{ a+b+c=\frac{13}{3}, \ ab+bc+ca=\frac{14}{3}, \ abc=\frac{2}{3}}\).

Ponadto \(\displaystyle{ a,b,c}\) są liczbami rzeczywistymi, dowód:
rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x(x-2)(3x-7)}\). Jest to funkcja wielomianowa, a więc ciągła, ponadto mamy
\(\displaystyle{ f(0)=0, \ f(1)=4, \ f(2)=0, \ f(3)=6}\). Wobec tego na mocy twierdzenia Darboux istnieją takie liczby \(\displaystyle{ x_{1}\in (0,1), \ x_{2}\in (1,2), \ x_{3}\in (2,3)}\), że \(\displaystyle{ f(x_{1})=f(x_{2})=f(x_{3})=2}\). Poza tym oczywiście wielomian trzeciego stopnia ma co najwyżej trzy pierwiastki rzeczywiste. Co więcej, z powyższego wynika, że w naszym przypadku są to pierwiastki dodatnie.

Odnotujmy, że gdy \(\displaystyle{ x>0, \ y>0, \ xy<1}\), to
\(\displaystyle{ \arctan x+\arctan y=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)}\), zaś gdy
\(\displaystyle{ x>0, \ y>0, \ xy>1}\), to
\(\displaystyle{ \arctan x+\arctan y=\pi+\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)}\).

Dla ustalenia uwagi niech \(\displaystyle{ a<b<c}\). Ponieważ wtedy jest \(\displaystyle{ c>2}\), więc \(\displaystyle{ ab<\frac{1}{3}<1}\), wszak \(\displaystyle{ abc=\frac{2}{3}}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ \arctan a+\arctan b=\arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)}\).
Ponadto jest \(\displaystyle{ \frac{a+b}{1-ab}>0}\) (oczywiste), \(\displaystyle{ c>0}\) (to wykazałem wcześniej, wszak \(\displaystyle{ c>2}\)), a także
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{1-ab}\cdot c=\frac{c(a+b)}{1-ab}=\frac{ab+bc+ca-ab}{1-ab}>\frac{\frac{14}{3}-\frac{1}{3}}{1}>1}\).
Zatem
\(\displaystyle{ \arctan \left(\frac{a+b}{1-ab}\right)+\arctan c=\pi+\arctan\left(\frac{\frac{a+b}{1-ab}+c}{1-\frac{ac+bc}{1-ab}}\right)\\=\pi+\arctan\left(\frac{a+b+c-abc}{1-(ab+bc+ca)}\right)=\pi+\arctan(-1)=\frac{3}{4}\pi}\).