Sinusem kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) do długości przeciwprostokątnej.
Cosunisem kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) do długości przeciwprostokątnej.
Tangensem kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi \(\displaystyle{ \alpha}\) do długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta.
Cotangensem kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długosci przyprostokątnej przyległej do kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) do długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi.
Secans jest odwrotnością cosinusa
Cosecans jest odwrotnością sinusa.
Funkcje te oznaczamy kolejno symbolami: sin, cos, tg (tan) ctg (cot).
Wzory i własności dla funkcji trygonometrycznych
Okresowość funkcji trygonometrycznych
Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi tzn. wartości powtarzają się co pewien okres. Dla sinusa i cosinusa okresem podstawowym jest 360 stopni, natomiast dla tangensa i cotangensa okresem podstawowym jest 180 stopni.
\(\displaystyle{ \large k\,\in\, Z\\\sin{\alpha}=\sin{(\alpha+360^o \cdot k)} \\\large \cos{\alpha}=\cos{(\alpha+360^o \cdot k)} \\\large \tan{\alpha}=\tan{(\alpha+180^o \cdot k)} \\\large \cot{\alpha}=\cot{(\alpha+180^o \cdot k)}}\)
Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych
Funkcje parzyste:
\(\displaystyle{ \large \cos(-\alpha) =\cos\alpha}\)
Funkcje nieparzyste:
\(\displaystyle{ \large \sin(-\alpha) = -\sin\alpha\\\tan(-\alpha)=-\tan\alpha\\\cot(-\alpha)=-\cot\alpha}\)
Tożsamości
Wzory podstawowe
\(\displaystyle{ \large\tan{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}},\ \ \ \ \ \ \cot{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\\\tan{\alpha}\cdot\cot{\alpha}=1,\ \ \ \ sin{\alpha}\cdot cosec{\alpha}=1,\ \ \ \ \cos{\alpha}\cdot\sec{\alpha}=1\\\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,\ \ \sec^2{\alpha}-\tan^2{\alpha}=1,\ \ cosec^2{\alpha}-\cot^2{\alpha}=1}\)
Wzory na różnice funkcji trygonometrycznych
\(\displaystyle{ \large \sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\sin{(\frac{\alpha-\beta}{2})}\cdot\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\\\large \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{(\frac{\alpha-\beta}{2})}\cdot\sin{(\frac{\alpha+\beta}{2})}\\\large \tan{\alpha}-\tan{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cdot\cos{\beta}}\\\large \cot{\alpha}-\cot{\beta}=\frac{\sin{(\beta-\alpha)}}{\sin{\alpha}\cdot\sin{\beta}}\\\large \cos{\alpha}-\sin{\alpha}=\sqrt{2}\cos{(\frac{\pi}{4}+\alpha)}=\sqrt{2}\sin{(\frac{\pi}{4}-\alpha)}\\\large \sin^2{\alpha}-\sin^2{\beta}=\cos^2{\beta}-\cos^2{\alpha}=\sin{(\alpha+\beta)}\cdot\sin{(\alpha-\beta)}\\\large \cos^2{\alpha}-\sin^2{\beta}=\cos^2{\beta}-\sin^2{\alpha}=\cos{(\alpha+\beta)}\cdot\cos{(\alpha-\beta)}}\)
Wzory na sumy funkcji trygonometrycznych
\(\displaystyle{ \large \sin\alpha+\sin\beta=2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cdot\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\\\large \cos\alpha+\cos\beta=2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cdot\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\\\large \tan\alpha+\tan\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}\\\large \cot\alpha+\cot\beta=\frac{\sin(\beta+\alpha)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}\\\large \cos{\alpha}+\sin{\alpha}=\sqrt{2}\sin{(\frac{\pi}{4}+\alpha)}=\sqrt{2}\cos{(\frac{\pi}{4}-\alpha)}}\)
Wzory na iloczyn funkcji trygonometrycznych
\(\displaystyle{ \large \sin\alpha\cdot \sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]\\\large \cos\alpha\cdot \cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]\\\large \sin\alpha \cdot \cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)]\\\large\sin{\alpha}\cdot\sin{\beta}\cdot\sin{\gamma}=\frac{1}{4}(\sin{(\alpha+\beta-\gamma)}+\sin{(-\alpha+\beta+\gamma)}+\sin{(\alpha-\beta+\gamma)}-\sin{(\alpha+\beta+\gamma)})\\\large\sin{\alpha}\cdot\sin{\beta}\cdot\cos{\gamma}=\frac{1}{4}(-\cos{(\alpha+\beta-\gamma)}+\cos{(-\alpha+\beta+\gamma)}+\cos{(\alpha-\beta+\gamma)}-\cos{(\alpha+\beta+\gamma)})\\\large\sin{\alpha}\cdot\cos{\beta}\cdot\cos{\gamma}=\frac{1}{4}(\sin{(\alpha+\beta-\gamma)}-\sin{(-\alpha+\beta+\gamma)}+\sin{(\alpha-\beta+\gamma)}+\sin{(\alpha+\beta+\gamma)})\\\large\cos{\alpha}\cdot\cos{\beta}\cdot\cos{\gamma}=\frac{1}{4}(\sin{(\alpha+\beta-\gamma)}+\sin{(-\alpha+\beta+\gamma)}+\sin{(\alpha-\beta+\gamma)}+\sin{(\alpha+\beta+\gamma)})}\)
Wzory na różnicę kątów funkcji trygonometrycznych
\(\displaystyle{ \large \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta-\cos\alpha\cdot\sin\beta\\\large \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta\\\large \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\cdot \tan\beta}\\\large \cot(\alpha-\beta)=\frac{\cot\alpha\cdot \cot\beta+1}{\cot\beta-\tan\alpha}}\)
Wzory na sumę kątów funkcji trygonometrycznych
\(\displaystyle{ \large \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta\\\large \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta\\\large \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot \tan\beta}\\\large \cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cdot \cot\beta-1}{\cot\beta+\tan\alpha}\\\large\sin(\alpha+\beta+\gamma)=\sin{\alpha}\cdot \cos{\beta}\cdot \cos{\gamma}+\cos{\alpha}\cdot\sin{\beta}\cdot \cos{\gamma}+\cos{\alpha}\cdot \cos{\beta}\cdot \sin{\gamma}-\sin{\alpha}\cdot \sin{\beta}\cdot \sin{\gamma}\\\large\cos(\alpha+\beta+\gamma)=\cos{\alpha}\cdot \cos{\beta}\cdot \cos{\gamma}-\sin{\alpha}\cdot \sin{\beta}\cdot \cos{\gamma}-\sin{\alpha}\cdot \cos{\beta}\cdot \sin{\gamma}-\cos{\alpha}\cdot \sin{\beta}\cdot \sin{\gamma}}\)
Wzory wielokrotności kąta funkcji trygonometrycznych
\(\displaystyle{ \large \sin2\alpha=2\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{2\tan{\alpha}}{1+\tan^2{\alpha}}\\\large \sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}\\ \large \sin{4\alpha}=8\cos^3{\alpha}\cdot\sin{\alpha}-4\cos{\alpha}\cdot\sin{\alpha}\\ \large \sin{n\cdot\alpha}=2\cos{\alpha}\cdot\sin{(n-1)\cdot\alpha}-\sin{(n-2)\cdot\alpha}\\\large \sin{n\cdot\alpha}={n \choose 1}\cos^{n-1}{\alpha}\cdot\sin{\alpha}-{n \choose 3}\cos^{n-3}{\alpha}\cdot\sin^3{\alpha}+{n\choose 5}\cos^{n-5}{\alpha}\cdot\sin^5{\alpha}-...\\\large \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2{\alpha}-1=1-2\sin^2{\alpha}=\frac{1-\tan^2{\alpha}}{1+\tan^2{\alpha}}\\\large \cos{3\alpha}=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}\\\large \cos{4\alpha}=8\cos^4{\alpha}-8\cos^2{\alpha}+1\\\large \cos{n\cdot\alpha}=2\cos{\alpha}\cdot\cos{(n-1)\cdot\alpha}-\cos{(n-2)\cdot\alpha}\\\large \cos{n\cdot\alpha}={n \choose 0}\cos^n{\alpha}-{n \choose 2}\cos^{n-2}{\alpha}\cdot\sin^2{\alpha}+{n \choose 4}\cos^{n-4}{\alpha}\cdot\sin^4{\alpha}-...\\ \large \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2}{\cot{\alpha}-\tan{\alpha}}\\ \large \tan{3\alpha}=\frac{3\tan{\alpha}-\tan^3{\alpha}}{1-3\tan^2{\alpha}}\\\large \tan{4\alpha}=\frac{4\tan{\alpha}-4\tan^3{\alpha}}{1-6\tan^2{\alpha}+\tan^4{\alpha}}\\\large \tan{n\cdot\alpha}=\frac{\tan{(n-1)\cdot\alpha}+\tan{\alpha}}{1-\tan{(n-1)\cdot\alpha}\cdot\tan{\alpha}}\\\large \cot2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}=\frac{\cot{\alpha}-\tan{\alpha}}{2}\\ \cot{3\alpha}=\frac{\cot^3{\alpha}-3\cot{\alpha}}{3\tan^2{\alpha}-1}\\ \large \cot{4\alpha}=\frac{\cot^4{\alpha}-6\cot^2{\alpha}+1}{4\tan^3{\alpha}-4\cot{\alpha}}\\}\)
Wzory połowy kąta funkcji trygonometrycznych
\(\displaystyle{ \large \sin\frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\\\large \cos\frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\\\large \tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}\\\large \cot\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{1-\cos{\alpha}}}=\frac{\sin{\alpha}}{1-\cos{\alpha}}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}}\)
Wzory na drugie, trzecie i czwarte potęgi funkcji trygonometrycznych
\(\displaystyle{ \large\sin^2{\alpha}=\frac{1}{2}(1-\cos{2\alpha})\\\sin^3{\alpha}=\frac{1}{4}(-3\sin{3\alpha}+3\sin{\alpha})\\\sin^4{\alpha}=\frac{1}{8}(\cos{4\alpha}-4\cos{\alpha+3})\\\cos^2{\alpha}=\frac{1}{2}(1+\cos{2\alpha})\\\cos^3{\alpha}=\frac{1}{4}(\cos{3\alpha}+3\cos{\alpha})\\\cos^4{\alpha}=\frac{1}{8}(\cos{4\alpha}+4\cos{2\alpha}+3)\\\tan^2{\alpha}=\frac{1-\cos{2\alpha}}{1+\cos{2\alpha}}\\\cot^2{\alpha}=\frac{1+\cos{2\alpha}}{1-\cos{2\alpha}}}\)
Wzory na ilorazy sum i różnic funkcji trygonometrycznych
\(\displaystyle{ \large\frac{\sin{\alpha}+\sin{\beta}}{\sin{\alpha}-\sin{\beta}}=\frac{\tan{\frac{\alpha+\beta}{2}}}{\tan{\frac{\alpha-\beta}{2}}}\\ \frac{\sin{\alpha}+\sin{\beta}}{\cos{\alpha}+\cos{\beta}}=\tan{\frac{\alpha+\beta}{2}}\\\frac{\sin{\alpha}+\sin{\beta}}{\cos{\alpha}-\cos{\beta}}=\cot{\frac{\alpha+\beta}{2}}\\\frac{\sin{\alpha}-\sin{\beta}}{\cos{\alpha}+\cos{\beta}}=\tan{\frac{\alpha-\beta}{2}}}\)
Wzory sumy i różnice funkcji trygonometrycznych i jedności
\(\displaystyle{ \large 1+\sin{\alpha}=2\sin^2{(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2})}=2\cos^2{(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})}\\1-\sin{\alpha}=2\cos^2{(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2})}=2\sin^2{(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})}\\1+\tan^2{\alpha}=\frac{1}{\cos^2{\alpha}}\\1+\cot^2{\alpha}=\frac{1}{\sin^2{\alpha}}\\1+\cos{\alpha}=2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}\\1-\cos{\alpha}=2\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}\)
Inne wzory dotyczące funkcji trygonometrycznych
Załóżmy, że: \(\displaystyle{ t=\tan{\frac{\alpha}{2}}}\), wtedy mamy:
\(\displaystyle{ \large\sin{\alpha}=\frac{2t}{1+t^2},\ \ \cos{\alpha}=\frac{1-t^2}{1+t^2},\ \ \tan{\alpha}=\frac{2t}{1-t^2}}\)
Wzory funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów
Wzory redukcyjne funkcji trygonometrycznych
\(\displaystyle{ \Large\large\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \alpha &\ \sin{\alpha}&\ \cos{\alpha}&\ \tan{\alpha}&\;\cot{\alpha}\\\hline -\alpha &- \sin{\alpha}&\;\cos{\alpha}&- \tan{\alpha}&- \cot{\alpha}\\\hline \alpha+\frac{\pi}{2} &\,\cos{\alpha}&- \sin{\alpha}&- \cot{\alpha}&- \tan{\alpha}\\\hline -\alpha+\frac{\pi}{2} &\ \cos{\alpha}&\;\sin{\alpha}&\;\cot{\alpha}&\;\tan{\alpha}\\\hline \alpha+\pi &- \sin{\alpha}&- \cos{\alpha}&\;\tan{\alpha}&\;\cot{\alpha}\\\hline -\alpha+\pi &\,\sin{\alpha}&- \cos{\alpha}&- \tan{\alpha}&- \cot{\alpha}\\\hline \alpha+\frac{3\pi}{2}&- \cos{\alpha}&\;\sin{\alpha}&- \cot{\alpha}&- \tan{\alpha}\\\hline -\alpha+\frac{3\pi}{2}&- \cos{\alpha}&- \sin{\alpha}&\;\cot{\alpha}&\;\tan{\alpha}\\\hline \alpha+2\pi &\,\sin{\alpha}&\;\cos{\alpha}&\;\tan{\alpha}&\;\cot{\alpha}\\\hline -\alpha+2\pi &- \sin{\alpha}&\;\cos{\alpha}&- \tan{\alpha}&- \cot{\alpha}\\\hline \end{array}}\)
Znaki funkcji trygonometrycznych
\(\displaystyle{ \Large\large\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Cwiartka&sinus&cosinus&tangens&cotangens&secans&cosecans\\\hline I &+&+&+&+&+&+\\\hline II &+&-&-&-&-&+\\\hline III &-&-&+&+&-&-\\\hline IV &-&+&-&-&+&-\\\hline \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \Large\large\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \alpha &\ \sin{\alpha}&\ \cos{\alpha}&\ \tan{\alpha}&\;\cot{\alpha}\\\hline -\alpha &- \sin{\alpha}&\;\cos{\alpha}&- \tan{\alpha}&- \cot{\alpha}\\\hline \alpha+\frac{\pi}{2} &\,\cos{\alpha}&- \sin{\alpha}&- \cot{\alpha}&- \tan{\alpha}\\\hline -\alpha+\frac{\pi}{2} &\ \cos{\alpha}&\;\sin{\alpha}&\;\cot{\alpha}&\;\tan{\alpha}\\\hline \alpha+\pi &- \sin{\alpha}&- \cos{\alpha}&\;\tan{\alpha}&\;\cot{\alpha}\\\hline -\alpha+\pi &\,\sin{\alpha}&- \cos{\alpha}&- \tan{\alpha}&- \cot{\alpha}\\\hline \alpha+\frac{3\pi}{2}&- \cos{\alpha}&\;\sin{\alpha}&- \cot{\alpha}&- \tan{\alpha}\\\hline -\alpha+\frac{3\pi}{2}&- \cos{\alpha}&- \sin{\alpha}&\;\cot{\alpha}&\;\tan{\alpha}\\\hline \alpha+2\pi &\,\sin{\alpha}&\;\cos{\alpha}&\;\tan{\alpha}&\;\cot{\alpha}\\\hline -\alpha+2\pi &- \sin{\alpha}&\;\cos{\alpha}&- \tan{\alpha}&- \cot{\alpha}\\\hline \end{array}}\)
Znaki funkcji trygonometrycznych
\(\displaystyle{ \Large\large\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Cwiartka&sinus&cosinus&tangens&cotangens&secans&cosecans\\\hline I &+&+&+&+&+&+\\\hline II &+&-&-&-&-&+\\\hline III &-&-&+&+&-&-\\\hline IV &-&+&-&-&+&-\\\hline \end{array}}\)
ZAPAMIĘTAJ !!!
Oto zasady o których trzeba pamiętać w przypadku wzorów redukcyjnych:1. Jeżeli dodawany/ odejmowany kąt jest parzystą wielokrotnością kąta 90 stopni to funkcja nie przechodzi w cofunkcje tzn. sinus zostaje sinusem, cosinus zaostaje cosinusem itd. W przypadku gdy wielokrotość ta jest nieparzysta, wtedy funkcja przechodzi w cofunkcje tzn. sinus staje się cosinusem i na odwrót oraz tangens staje się cotangensem i na odwrót.
2. Sprawdzamy, która ćwiartka i korzystamy z wierszyka:
Wierszyk trygonometryczny
"W pierwszej ćwiartce same plusy,
W drugiej tylko sinus,
W trzeciej tangens i cotangens.
A w czwartej cosinus."
Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów
Wartości podstawowe
\(\displaystyle{ \large\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline -&0^o&30^o&45^o&60^o&90^o&180^o&270^o&360^o\\\hline\sin\alpha &0&\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}&1&0&-1&0\\\hline \cos\alpha &1&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{2}&0&-1&0&1\\\hline \tan\alpha &0&\frac{\sqrt{3}}{3}&1&\sqrt{3}&-&0&-&0\\\hline \cot\alpha &-&\sqrt{3}&1&\frac{\sqrt{3}}{3}&0&-&0&-\\\hline \end{array}}\)
Wartości zaawansowane
\(\displaystyle{ \Large \large\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline -&15^o&18^o&22,5^o&36^o&54^o&67,5^o&72^o&75^o\\\hline\sin\alpha &\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}&\frac{\sqrt{5}-1}{4}&\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}&\frac{\sqrt{5}+1}{4}&\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}&\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}&\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\\hline \cos\alpha &\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}&\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}&\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}&\frac{\sqrt{5}+1}{4}&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}&\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}&\frac{\sqrt{5}-1}{4}&\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\\hline \tan\alpha &2-\sqrt{3}&\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}&\sqrt{2}-1&\sqrt{5-2\sqrt{5}}&\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}&\sqrt{2}+1&\sqrt{5+2\sqrt{5}}&2+\sqrt{3}\\\hline \cot\alpha &2+\sqrt{3}&\sqrt{5+2\sqrt{5}}&\sqrt{2}+1&\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}&\sqrt{5-2\sqrt{5}}&\sqrt{2}-1&\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}&2-\sqrt{3}\\\hline \end{array}}\)
*Postać wykładnicza funkcji trygonometrycznych\(\displaystyle{ \large\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline -&0^o&30^o&45^o&60^o&90^o&180^o&270^o&360^o\\\hline\sin\alpha &0&\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}&1&0&-1&0\\\hline \cos\alpha &1&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{2}&0&-1&0&1\\\hline \tan\alpha &0&\frac{\sqrt{3}}{3}&1&\sqrt{3}&-&0&-&0\\\hline \cot\alpha &-&\sqrt{3}&1&\frac{\sqrt{3}}{3}&0&-&0&-\\\hline \end{array}}\)
Wartości zaawansowane
\(\displaystyle{ \Large \large\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline -&15^o&18^o&22,5^o&36^o&54^o&67,5^o&72^o&75^o\\\hline\sin\alpha &\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}&\frac{\sqrt{5}-1}{4}&\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}&\frac{\sqrt{5}+1}{4}&\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}&\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}&\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\\hline \cos\alpha &\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}&\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}&\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}&\frac{\sqrt{5}+1}{4}&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}&\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}&\frac{\sqrt{5}-1}{4}&\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\\hline \tan\alpha &2-\sqrt{3}&\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}&\sqrt{2}-1&\sqrt{5-2\sqrt{5}}&\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}&\sqrt{2}+1&\sqrt{5+2\sqrt{5}}&2+\sqrt{3}\\\hline \cot\alpha &2+\sqrt{3}&\sqrt{5+2\sqrt{5}}&\sqrt{2}+1&\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}&\sqrt{5-2\sqrt{5}}&\sqrt{2}-1&\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}&2-\sqrt{3}\\\hline \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \large \sin{\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i},\ \ \ \ \cos{\alpha}=\frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}}\)
Korzystając z tej postaci bardzo prosto można otrzymać większość z tożsamośći wypisanych wyzej. Oto przykłady:
Jedynka trygonometryczna
\(\displaystyle{ \large \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=(\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i})^2+(\frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2})^2=1}\)
Parzystość/Nieparzystość funkcji
\(\displaystyle{ \large \sin{(-\alpha)}=\frac{e^{-i\alpha}-e^{i\alpha}}{2i}=-(\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i})=-\sin{\alpha}\\\cos{(-\alpha)}=\frac{e^{-i\alpha}+e^{i\alpha}}{2}=\cos{\alpha}}\)
[Od autora]
Ewentualne uwagi proszę kierować na GG/Poczte odnośnie informacji zawartych/nie zawartych w poście.
[Prośba do moderatorów]
Będe wdzieczny jeśli przed zmianą treści posta dana osoba skonsultuje to ze mną. Powody czysto techniczne.