Wyprowadzenie wzoru na odległość punktu od prostej

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Geometrii.
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Wyprowadzenie wzoru na odległość punktu od prostej

Post autor: Wasilewski »

Będziemy korzystać z równania ogólnego prostej:

\(\displaystyle{ Ax + By + C = 0.}\)

Wektor prostopadły do prostej ma współrzędne \(\displaystyle{ \vec{u} = [kA, kB]}\).

Aby się o tym przekonać wystarczy wyznaczyć wektor równoległy do prostej, korzystając z jej wzoru, oraz zwrócić uwagę na fakt, że wektory \(\displaystyle{ [x,y], [-y,x]}\) są prostopadłe, gdyż ich iloczyn skalarny się zeruje.

Możemy zatem napisać taki układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = x_0 - kA \\ y = y_0 - kB \end{cases}}\)

gdzie \(\displaystyle{ (x,y)}\) to punkt leżący na prostej. Wobec tego mamy (rozumowanie chwilowo nie obejmuje przypadku prostych postaci \(\displaystyle{ x=a}\))

\(\displaystyle{ y = \frac{-Ax - C}{B}.}\)

Pomnóżmy obustronnie pierwsze równanie przez A, a drugie przez B:

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax_0 - kA^2 = Ax \\ By_0 - kB^2 = -Ax - C \end{cases}}\)

Dodajmy stronami:

\(\displaystyle{ Ax_0 + By_0 + C = k(A^2 + B^2) \\ \\
k = \frac{Ax_0 + By_0 + C}{A^2 + B^2} \\ \\
k^2 = \frac{(Ax_0 + By_0 +C)^2}{(A^2 + B^2)^2}\quad | \cdot (A^2 + B^2) \\ \\
(kA)^2 + (kB)^2 = \frac{(Ax_0 + By_0 + C)^2}{A^2 + B^2} \\ \\
\sqrt{(kA)^2 + (kB)^2} = \|\vec{u}\| = d = \frac{|Ax_0 +By_0 + C|}{\sqrt{A^2 +B^2}}. \ \blacksquare}\)


Chociaż wyprowadzenie nie obejmuje przypadku, gdy prosta jest postaci \(\displaystyle{ x=a}\), to nietrudno sprawdzić, że w tym przypadku wzór również jest prawdziwy.
ODPOWIEDZ